在上面的两个例子中，都无法直接找到变量之间的函数关系，而是利用几何、经济意义，建立了含有未知函数的导数方程（10.1）、（10.3），然后通过积分等手段求出满足方程和附加条件的未知函数.这一类问题具有普遍意义，下面抽象出它们的数学本质，引进微分方程的有关概念.

定义1　表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间关系的方程称为微分方程.其中，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.

例如，方程（10.1）、（10.3）都是常微分方程；而为偏微分方程.本章只讨论常微分方程，并将其简称为微分方程.

注：在微分方程中，可以不明显出现自变量或未知函数，但必须含有未知函数的导数或微分.

定义2　微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫作微分方程的阶.

例如，方程（10.1）和（10.3）都是一阶微分方程.而方程y″＋xy′＋y＝0是二阶微分方程.

定义3　如果将函数及其导数代入微分方程，能使微分方程成为恒等式，则我们称该函数为微分方程的解.

例如，例1中，（10.2）是微分方程（10.1）的解；例2中，（10.4）是微分方程（10.3）的解.

定义4　如果n阶微分方程的解中含有n个独立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解.而确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解.

许多实际问题中，在给出微分方程的同时，还要给出方程中的未知函数所必须满足的一些条件，通过这些条件，可以确定通解中任意常数的值，这样的条件称为定解条件.例如，例1中的y（0）＝2和例2中的Q（0）＝600.

对于一阶微分方程，常用的定解条件是

其中，x0，y0是给定的数值.如果是二阶微分方程，常用的定解条件是

或写成

其中，x0，y0，y1都是给定的数值.这样的定解条件称为初始条件.

一般地，n阶微分方程的初始条件为

其中，x0，y0，y1，…，yn－1都是给定的数值.

求微分方程满足初始条件的特解问题称为微分方程初值问题.(www.daowen.com)

从几何意义上来看，微分方程解的图形是一条曲线，叫作微分方程的积分曲线.由于微分方程的通解中含有任意常数，当任意常数取不同的值时，得到不同的积分曲线，所以通解的图形是一族积分曲线.而微分方程的特解是积分曲线族中满足给定初始条件的某一条特定的积分曲线.

例3　验证函数y＝C1sinx＋C2cosx是微分方程y″＋y＝0的通解，并求满足初始条件2的特解.

解　求出所给函数的导数

将y″＝－C1sinx－C2cosx代入微分方程中后为恒等式，且函数y＝C1sinx＋C2cosx中含有两个相互独立的任意常数，所以y＝C1sinx＋C2cosx是微分方程的通解.

解得，C1＝2，C2＝1.故所求特解为y＝2sinx＋cosx.

习题　10.1

1.指出下列微分方程的阶数.

（1）（y″）2＋2（y′）3－x5＝0；　（2）y（4）＋10y′＋5y＝sin2x；

（3）（x＋y）dx＋（6x－y）dy＝0；　（4

2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解.若是，它是通解还是特解？

（1）y′＝x2，y＝

（2）y″＋y＝ex，y＝C1sinx＋C2cosx＋为任意常数）；

（3）y″－3y′＋2y＝0，y＝ex＋3e2x；

（4）xdx＋ydy＝0，x2＋y2＝R2（R为任意常数）.

3.验证：函数y＝C1e3x＋C2e4x是方程y″－7y′＋12y＝0的通解，并求满足初始条件＝2的特解.

4.已知曲线任一点P（x，y）处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线所满足的微分方程.