将函数展成幂级数有直接展开法和间接展开法.

1.直接展开法

利用定理1，将函数f（x）展开成泰勒级数或麦克劳林级数的方法称为直接展开法.具体步骤如下：

（1）求出函数f（x）的各阶导数f′（x），f″（x），f‴（x），…，f（n）（x），…；

（2）求出函数f（x）及其各阶导数在x＝x0或在x＝0处的值f′（x0），f″（x0），f‴（x0），…，f（n）（x0），…或f′（0），f″（0），f‴（0），…，f（n）（0），…；

下面，我们讨论几个基本初等函数的麦克劳林级数.

例1　求函数f（x）＝ex展成x的幂级数.

解　因为f（n）（x）＝ex（n＝1，2，…），所以f（n）（0）＝1（n＝1，2，…），则有级数该幂级数的收敛半径R＝＋∞.

对于任意x∈（－∞，＋∞），由于余项中的ξ介于0与x之间，所以

利用幂级数的直接展开法，还可以得到幂函数f（x）＝（1＋x）m（m为任意常数）在x处的幂级数展开为

注：当m≤－1时，上式对所有x∈（－1，1）成立；当－1＜m＜0时，上式对所有x∈（－1，1]成立；当m＞0时，上式对所有x∈[－1，1]成立.(www.daowen.com)

特别地，当m＝－1时，有

2.间接展开法

通过上面的例子可以看出，直接展开法虽然程序明确，但是运算过于烦琐，特别是讨论余项是否趋于零往往比较困难.下面我们介绍幂级数的间接展开法.所谓间接展开法，就是从已知函数的幂级数展开式出发，通过变量代换、幂级数的四则运算法则及分析运算性质（逐项求导、逐项积分）等工具求函数幂级数展开式的方法.根据函数展开成幂级数的唯一性可以断定，间接展开法与直接展开法所得结果相同.

例3　求函数f（x）＝ln（1＋x）展成x的幂级数.

习题　9.5

1.将下列函数展成x的幂级数.

（1）f（x）＝x2e－x；　（2）f（x）＝ln（3＋x）；

（3）f（x）＝（4）f（x）＝arctanx.

2.将下列函数在指定点展开成幂级数.

（1）f（x）＝ex，x＝1；　（2）f（x）＝lnx，x＝2.