由二重积分的定义知：若函数f（x，y）在D上可积，则其和式极限的存在性与区域D的分法无关，即与小区域Δσi（i＝1，2，…，n）的形状无关.所以在直角坐标系下，通常采用平行于坐标轴的直线来划分区域D（见图8.5），那么小区域Δσi为矩形（除去包含边界的小曲边闭区域，因为这些区域的和式的极限为零，则可忽略不计），其边长分别为Δxi和Δyi，即

故在直角坐标系下，面积元素dσ常用dxdy来表示，则直角坐标系下的二重积分可化为

图8.5

设积分区域D由曲线y＝φ1（x），y＝φ2（x）及直线x＝a，x＝b围成，其中a＜b，φ1（x）＜φ2（x）且φ1（x）、φ2（x）均在［a，b］上连续，则D可表示为

称形如上式的区域为X－型区域，其特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界的交点不多于两个（见图8.6）.

若积分区域D由曲线x＝ψ1（y），x＝ψ2（y）及直线y＝c，y＝d围成，其中c＜d，ψ1（y）＜ψ2（y）且ψ1（y）、ψ2（y）均在［c，d］上连续，则D可表示为

称形如上式的区域为Y－型区域，其特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个（见图8.7）.

图8.6

图8.7

下面利用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法.

设曲顶柱体的顶是非负函数z＝f（x，y），底是区域D，其中D是由xOy平面上的直线x＝a，x＝b（a＜b）与曲线y＝φ1（x），y＝φ2（x）所围成，如图8.6所示.

为确定曲顶柱体的体积V，在x轴上任取一点x∈［a，b］，过该点作一个垂直于x轴的平面去截曲顶柱体，其截面面积为S（x），如图8.8所示.

图8.8

图8.9

由定积分可知：平行截面面积已知的立体的体积为定积分

对于每一个固定的x，截得的截面S（x）是以空间曲线z＝f（x，y）为曲边，以［φ1（x），φ2（x）］为底边的曲边梯形，如图8.9所示.利用定积分的几何意义得其截面面积为

从而

于是得到二重积分的计算公式

上式右端的积分称为二次积分或称先对y后对x的二次积分，常简写为

如果去掉z＝f（x，y）在D上是非负函数这个条件，上式仍然成立.

类似地，当积分区域为Y－型区域时，则二重积分化为二次积分的公式为

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上式为先对x后对y的二次积分.

注：把二重积分化为二次定积分，要明确以下两点：

（1）积分次序：若积分区域D为X－型区域，先把x看成常数，把f（x，y）只看成y的函数来计算定积分积分的结果是关于x的函数，然后再对此函数在［a，b］上对x作定积分；若积分区域D为Y－型区域，先把y看成常数，把f（x，y）只看成x的函数来计算定积分积分的结果是关于y的函数，然后再对此函数在［c，d］上对y作定积分.

（2）积分上下限：将二重积分化为二次积分，关键是确定积分限.一般先画出区域D的图形，用“投影穿线法”确定积分限.

“投影穿线法”：以X－型区域为例，先投影确定外积分限，即将积分区域向x轴投影的区间若为［a，b］，则外层上、下限分别为b、a；再穿线确定内积分限，即过［a，b］内任意一点作x轴的垂线与积分区域的边界相交，由上至下交点分别为φ2（x）、φ1（x），它们就是内层上、下限.类似地，也可以得到Y－型区域的积分上下限.

例1　计算其中D是由直线y＝1，x＝2及y＝x所围成的闭区域.

解　画出积分区域D的图形，如图8.10所示，由图可知，D既是X－型区域，也是Y－型区域，故有两种方法.

方法一：

将D看成是X－型区域，则有

图8.10

方法二：

将D看成是Y－型区域，则有

如果积分区域既不是X－型区域，也不是Y－型区域，如图8.11所示，则需要将区域分成若干个小区域，使得每个小区域变成X－型区域或Y－型区域，再使用二重积分对积分区域的可加性计算二重积分.

图8.11

图8.12

例2　计算二重积分，其中D是由直线y＝x＋1，y＝1－x和y＝0围成.

解　先画出积分区域D的图形，如图8.12所示.

若把D看成X－型区域则需要把D划分成D1，D2两部分进行积分，需要计算两次二重积分，但把D看成Y－型区域则只需要做一次二重积分.故

图8.13

由上例知道在化二重积分为二次积分时，应当选择恰当的积分次序.有时，由于积分次序选择不当，造成计算过程烦琐，甚至使计算无法进行.

图8.14

二重积分的计算可按如下步骤进行：

（1）画出积分区域D的图形；

（2）根据积分区域D和被积函数的结构来选择积分次序，用不等式组表示出积分区域D，定出二次积分的上下限；

（3）将二重积分表示为相应的二次积分进行计算.