二重积分与定积分有着类似的性质.假设下面所讨论的二重积分都是存在的.

性质1（可加性）

性质2（齐次性）

性质3（积分区域可加性）　如果f（x，y）在有界闭区域D上可积，D被连续曲线分成D1，D2两部分（如图8.4），D＝D1∪D2且D1，D2无公共内点，则f（x，y）在区域D1，D2上可积，且

图8.4

性质4　如果在区域D上，有f（x，y）≡1，σ为区域D的面积，则

注：此时的二重积分可以理解为以平面z＝1为顶，D为底的平顶柱体的体积，该体积在数值上等于D的面积.

性质5（单调性）　如果在D上，f（x，y）≤g（x，y），则有(www.daowen.com)

性质6（估值定理）　设M，m分别是f（x，y）在D上的最大值与最小值，σ为D的面积，则

性质7（二重积分的中值定理）　若函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，σ为D的面积，则至少存在一点（ξ，η）∈D，使得

上述中值定理的几何意义为：以D为底，以曲面z＝f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积等于以区域D上某一点（ξ，η）的函数值f（ξ，η）为高，以D为底的平顶柱体的体积.

习题　8.1

1.利用二重积分的几何意义计算下列二重积分.

2.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小.

3.根据二重积分的性质，估计下列积分的值.