1.引例——曲顶柱体的体积

设有一立体，它的底是xOy平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z＝f（x，y）（f（x，y）≥0），且f（x，y）在D上连续，我们称这样的立体为曲顶柱体（如图8.1）.接下来我们将讨论如何计算上述曲顶柱体的体积.

图8.1

图8.2

如果函数f（x，y）在D上取常数值，则上述曲顶柱体就化为一平顶柱体，该平顶柱体的体积可用公式

来计算.对于曲顶柱体，当点（x，y）在区域D上变动时，其高度f（x，y）是个变量，这与我们在计算曲边梯形的面积时所遇到的问题是类似的，所以可以仿照计算曲边梯形面积的微元法来计算曲顶柱体的体积.

（1）分割

用任意一组曲线网将区域D分割成n个小闭区域（如图8.2）：

并以Δσi（i＝1，2，…，n）表示第i个小闭区域的面积；称区域Δσi内任意两点间的距离的最大值为该区域Δσi的直径，以di表示；再以各小区域的边界为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面就把原来的曲顶柱体分割成了n个小曲顶柱体.若记第i个小曲顶柱体的体积为ΔVi，则V＝

（2）近似替代

在每个小曲顶柱体的底Δσi上任取一点（ξi，ηi）（i＝1，2，…，n），则以Δσi为底，以f（ξi，ηi）为高的平顶柱体的体积为

将上式作为与其同底的小曲顶柱体的体积ΔVi的近似值，如图8.3所示，即

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图8.3

（3）求和

n个小平顶柱体体积之和可作为所求曲顶柱体体积V的近似值，即

（4）取极限

存在，则我们将这个极限值定义为曲顶柱体的体积，即

事实上，有许多实际问题，例如薄片质量的计算、经济总量的解决都可以采取分割、近似替代、求和、取极限的方法，问题最终化为求上述形式的和式极限.我们将此进行抽象概括就产生了二重积分的概念.

2.二重积分的概念

定义　设f（x，y）是定义在有界闭区域D上的二元有界函数，将闭区域D任意分割成n个小闭区域

定理1　若函数f（x，y）在有界闭区域D上可积，则函数f（x，y）在D上有界.

定理2　若函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则函数f（x，y）在D上可积.

3.二重积分的几何意义