因为求函数f（x，y）在区域D上的最大值和最小值往往都比较复杂，所以根据实际问题的性质，知道函数f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数在D内又只有一个驻点，那么就可以肯定该驻点处的函数值就是函数f（x，y）在D上的最大值（最小值）.

例2　某工厂在生产中使用甲乙两种原料，已知使用x单位甲种原料，使用y单位乙种原料可生产P单位的产品，且

已知甲乙两种原料每单位的价格分别为20元和30元，产品的单位售价为100元，产品的固定成本为1000元，求该工厂的最大利润.

解　设L为该工厂的利润，则有

求得唯一驻点（5，8），根据问题的实际意义，L必可得最大值，因此L（x，y）在点（5，8）处取得最大值L（5，8）＝16 000，于是该工厂的最大利润为16 000元.

例3　要造一个容积一定的长方体箱子，问：选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最少？

解　设箱子的长、宽、高分别为x，y，z（x＞0，y＞0，z＞0），容积为V，则(www.daowen.com)

习题　7.7

1.求函数z＝（x2＋y2－2x）2在圆域x2＋y2≤2x上的最大值与最小值.

2.要选一个容积为V的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才可使它的表面积最小？

3.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为Q1和Q2，需求函数分别为Q1＝24－0.2p1，Q2＝30－0.5p2，总成本函数为C＝34＋40（Q1＋Q）2，问大家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？

4.求函数f（x，y）＝sinx＋siny－sin（x＋y）在有界闭区域D上的最大值和最小值，其中D是由直线x＋y＝2π，x轴和y轴所围成的三角形区域.