上面所讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了限制其在函数的定义域内并无其他的要求，我们称这类极值为无条件极值问题.

在实际问题中，函数的自变量往往还有附加的约束条件.这类带有约束条件的函数极值问题称为条件极值问题.

例如，求体积为V而表面积最小的长方体的尺寸，若长方体的长宽高分别为x，y，z，表面积为S，则问题就是求函数S（x，y，z）＝2（xy＋yz＋zx）在约束条件xyz＝V下的最小值.

求解极值问题一般有两种方法，一种方法就是将条件极值化为无条件极值来处理，如本例，可由约束条件xyz＝V解出z＝代入函数S中，成为求

在其定义域内x＞0，y＞0内的最小值，这是无条件极值问题；另一种条件极值的方法是下面要介绍的拉格朗日乘数法.

现在的问题是求函数z＝f（x，y）在约束条件

下的极值.

如果f（x，y）在（x0，y0）处取得条件极值，那么首先应有

假定在（x0，y0）的某一邻域内f（x，y）与均有连续的一阶偏导数，且φy（x0，y0）≠0由隐函数存在定理可知，式（7.11）确定了一个具有连续导数的函数y＝φ（x），将其代入函数z＝f（x，y），得到一元函数

这样，函数z＝f（x，y）在（x0，y0）取条件极值等同于函数z＝f[x，φ（x）]在x＝x0处取无条件极值，由一元可导函数取极值的必要条件知

式（7.12）和式（7.13）为在约束条件φ（x，y）＝0下，函数z＝f（x，y）在（x0，y0）处取得条件极值

引进辅助函数

不难看出，式（7.14）中前两式就是

我们把函数z＝f（x，y）在约束条件φ（x，y）＝0下的极值，写出一般步骤是：

（1）构造拉格朗日函数L（x，y）＝f（x，y）＋λφ（x，y）；

（2）由方程组

解出x，y及λ，这样得到的（x，y）就是函数f（x，y）在约束条件φ（x，y）＝0下的可能极值点；

（3）判别（x，y）是否是极值点，一般可由具体问题的性质直接进行判别.

拉格朗日乘数法还可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.

如求函数u＝f（x，y，z，t）在条件φ（x，y，z，t）＝0，φ（x，y，z，t）＝0下的极值，可构造拉格朗日函数

其中λ1，λ2均为常数，由L＝f（x，y，z，t），关于x，y，z，t的偏导数为零的方程组解出x，y，z，t，即得所求条件极值的可能极值点.

例2　试在斜边长为l的直角三角形中，找一个周长最长的直角三角形.

解　设直角三角形两直角边长分别为x和y，问题就是求函数

在条件x2＋y2＝l2下的最大值.

作拉格朗日函数

并构造方程组(www.daowen.com)

显然，这个问题的解是存在的，因而所求得的唯一可能的极值点就是极大值点，即两直角边均时，周长最大.

例3　某工厂通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R（万元）与电视广告费x（万元），报纸广告费y（万元）的函数关系为

如果计划提供2万元广告费，求最佳的广告策略.

解　广告费为2万元时的最佳的广告策略，就是在x＋y＝2的条件下求R（x，y）的最大值问题，设拉格朗日函数为

解方程组

解得唯一可能极值点（0.5，1.5）.

由问题本身可知最大值一定存在，所以当电视广告费为0.5万元，报纸广告费为1.5万元时，销售收入达到最高，最高销售收入为R（0.5，1.5）＝40万元.

如求三元函数u＝f（x，y，z）在约束条件φ（x，y，z）＝0的条件极值，可构造拉格朗日函数

求出可能的极值点.

又如函数u＝f（x，y，z，t）在条件φ（x，y，z，t）＝0，φ（x，y，z，t）＝0下的条件极值，可构造拉格朗日函数

其中λ1，λ2均为常数，由方程组求出可能的极值点.

例4　欲用360元建造一个无盖的长方体形容器，已知底的造价为30元／m2，侧面造价为10元／m2，问尺寸如何设计，才能使容器的容积最大？

解　设容器的长，宽，高分别为x，y，z，则目标函数为

约束条件为

作拉格朗日函数

将上述方程组中的第一个方程乘x，第二个方程乘y，第三个方程乘z，再两两相减，得

代入第四个方程得唯一驻点x＝y＝2，z＝3，由问题本身可知最大值一定存在，因此，当容器的长、宽均为2m，高为3m时容积最大.

习题　7.6

1.求下列函数的极值.

（1）z＝x2－y2＋1；

（2）z＝x3＋y3－3xy；

（3）f(x，y)＝x2(x－1)2＋y2；

2.求目标函数z＝xy在约束条件下x＋y＝1的极值.

3.已知函数z＝x2＋y2在条件＝1 （a＞0，b ＞0）下存在最小值，求这个最小值.