在一元函数微分学中，我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了由二元方程F（x，y）＝0所确定的一元隐函数y＝f（x）的求导法则，现在利用偏导数概念深入讨论这一问题，给出隐函数存在定理及隐函数求导公式.

定理5（隐函数存在定理）　设函数F（x，y）在点P0（x0，y0）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x，y）＝0，Fy（x0，y0）≠0，则由方程F（x，y）＝0在点（x0，y0）的某一邻域内能唯一的确定一个具有连续导数的函数y＝f（x），它满足条件y0＝f（x0），并有

式（7.9）就是隐函数的求导公式.

上述定理的证明从略，仅推导式（7.9）.

将方程F（x，y）＝0所确定的函数y＝f（x），代回到方程中，便得到恒等式

方程两端分别对x求导数，由复合函数求导法则求导得到

由于Fy连续，且Fy（x0，y0）≠0，所以在点（x0，y0）的某个邻域内Fy≠0，于是得

例6　求由方程ex＋cosxy－y2＝0所确定的隐函数y＝f（x）的导数.

解　设F（x，y）＝ex＋cosxy－y2，则

隐函数的求导方法还可以推广到多元函数.

若一个三元方程F（x，y，z）＝0确定一个二元隐函数z＝f（x，y），代入方程，得

应用链式法则，将上式两端分别对x，y求偏导，可得(www.daowen.com)

从而在Fz≠0处有

习题　7.5

1.求下列函数的全导数.

（1）z＝arctan(xy)，y＝ex；

（2）z＝xy，x＝et，y＝sint.

2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.

（1）z＝u2＋v2，u＝x＋y，v＝x－y；

（2）z＝euv，u＝lnxy，v＝arctan

（3）z＝y＋f(u)，u＝x2－y2.

3.设z＝f（x2－y2，exy），其中f具有连续偏导数，求

4.求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数.