引例1　金属薄片受热膨胀问题.

如图7.20所示的一长方形金属薄片，其长和宽分别为x和y，则面积为S＝xy.当受热后在长和宽两个方向上都发生变形，受热变形后的长和宽分别为x＋Δx和y＋Δy，那么该金属薄片的面积就有如下全增量

上式右端包含两个部分，一部分是yΔx＋xΔy，它是Δx，Δy的线性函数；另一部分是ΔxΔy，当Δx→0，Δy→0时，即当ρ＝→0时，ΔxΔy是比ρ高阶的无穷小量.因此，如果略去ΔxΔy，用yΔx＋xΔy近似表示ΔS，则其误差ΔxΔy是一个比ρ高阶的无穷小量.以后一般把这个线性函数yΔx＋xΔy称为函数S＝xy在点（x，y）的全微分，面积S的改变量ΔS称为面积函数的全增量.

一般地，计算函数z＝f（x，y）的全增量Δz比较复杂.与一元函数类似，希望能用Δx和Δy的线性函数近似代替函数z的全增量，从而引入全微分的概念.

定义1　设二元函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）处的某邻域U（P0）内有定义，若函数在P0（x0，y0）处的全增量

可表示为(www.daowen.com)

其中A、B仅与x0，y0有关，而与Δx，Δy无关，ρ＝，o（ρ）表示关于ρ的高阶无穷小量，则称函数z＝f（x，y）在点（x，y）可微，并称AΔx＋BΔy为f（x，y）在点（x0，y0）的全微分，记为，即

由于自变量的增量等于自变量的微分，即

于是