与一元函数的连续性与间断类似，下面给出二元函数连续的定义.

定义4　设函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）的某一邻域U（P0）内有定义，点P（x，y）是邻域U（P0）内异于P0的任意一点，如果

那么称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续，点（x0，y0）也称为函数f（x，y）的连续点.

由定义可知，如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）连续，必须同时满足以下三个条件：

（1）函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）有定义；

（3）函数的极限值必须等于该点的函数值.

以上三条有一条（或一条以上）不满足时，函数f（x，y）在点P0（x0，y0）就不连续，这时称P0（x0，y0）为函数z＝f（x，y）的间断点.

如例5中，函数f（x，y）在点（0，0）处有定义，且f（0，0）＝0，不存在，所以点（0，0）是函数的间断点.

定义5　设二元函数z＝f（x，y）的自变量x，y在x0，y0处分别有增量Δx，Δy时，称相应的函数z的增量

为函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）处的全增量.称增量

为函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）处对x的偏增量.称增量

为函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）处对y的偏增量.

由此利用全增量的定义，连续的定义可用如下的等价定义描述.

定义6　设函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）的某一邻域U（P0）内有定义，若当自变量x，y在x0，y0处的增量Δx，Δy趋于零，相应的函数z的全增量Δz也趋向于零，即

则称函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续.(www.daowen.com)

如果函数z＝f（x，y）在区域D的每一点都连续，那么称函数z＝f（x，y）在区域D上连续，或者称z＝f（x，y）是区域D上的连续函数.

可以证明，多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.

与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.

一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域.

点P0（1，2）为D的内点，故存在P0的某一邻域U（P0）⊂D，而任何邻域都是区域，所以U（P0）是f（x，y）的一个定义区域，因此

一元连续函数在闭区间上的性质也可推广到二元函数.

性质1（有界性定理）　如果函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则它在D上有界，即存在常数M＞0，使≤M，（x，y）∈D.

性质2（最值定理）　如果函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值.即设M，m为函数z＝f（x，y）的最大值和最小值，对于任意（x，y）∈D有

性质3（介值定理）　如果函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则它必取得介于最大值和最小值之间的任何值.即对任意C∈［m，M］，至少存在一点（x0，y0）∈D，使得f（x0，y0）＝C.

习题　7.2

2.求下列函数的定义域，并作出图象.

3.证明下列函数的极限不存在.

4.求下列极限.

5.求下列函数的间断点.