1.曲面及其方程

类似于平面解析几何中的曲线一样，在空间解析几何中将曲面看作具有某种几何性质的动点的轨迹，用动点坐标（x，y，z）满足的方程来表示.

定义1　如果曲面S与三元方程

满足条件：

（1）曲面S上任意一点的坐标都满足方程（7.2）；

（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（7.2），

那么，方程（7.2）就叫作曲面S的方程，而曲面S就叫作方程的图形（如图7.5）.

图7.5

例3　设M（3，1，1），N（－1，0，2）是空间两点，求线段MN的垂直平分面的方程.

解　设点P（x，y，z）是所求平面上的任意一点，由题意有｜PM｜＝｜PN｜，则

化简整理，得线段MN的垂直平分面的方程为

此方程是一个含有三个未知数的三元一次方程，表示一个垂直且平分线段AB的平面.

一般地，含有三个未知数的三元一次方程Ax＋By＋Cz＋D＝0（其中A，B，C，D都是常数，且A、B、C不同时为零）表示空间的一个平面.

例4　求球心为P0（x0，y0，z0），半径为R（＞0）的球面方程.

解　设P（x，y，z）为球面上的任意一点，由题意有

此方程即为球面的一般方程.

特别地，当球心在原点时，方程x2＋y2＋z2＝R2为球心在原点，半径为R的球面方程.

2.二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，把三元二次方程

所表示的空间曲面叫作二次曲面.其中Ai，Bi，Ci（i＝1，2，3），D均为常数，且Ai，Bi，Ci（i＝1，2，3）不全为零.(www.daowen.com)

常见的二次曲面除了球面外，还有：

图7.6

图7.7

图7.8

图7.9

图7.10

图7.11

习题　7.1

1.在空间直角坐标系下，指出下列各点的位置.

A（1，－3，－2）；B（－2，1，－3）；C（2，0，0）；D（2，3，－1）；E（2，3，0）；F（1，2，3）.

2.求在z轴上且与两点A（－4，1，7），B（3，5，－2）等距离的点.

3.求证以A（4，1，9），B（10，－1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是一个等腰直角三角形.

4.求与两定点A（1，－2，0），B（2，0，－3）距离相等的点的轨迹方程.

5.做出下列方程所表示的空间图形.