1.已知边际函数求总函数

我们知道，边际函数是相应经济函数的导数，于是当已知边际函数时，就可以通过积分来求相应的经济函数及其有关的数值.

由牛顿－莱布尼茨公式知：若f′（x）连续，则

移项，得

在经济问题中，如果已知边际函数f′（x），则可以通过上式来计算其总函数.

（1）总成本函数

已知边际成本函数C′（Q），则C0＝C（0）为固定成本.从而总成本函数C（Q）为

（2）总收益函数

已知边际收益函数R′（Q），则产品未销售前的收益为R0＝R（0）＝0.从而总收益函数R（Q）为

（3）总利润函数

总利润函数L（Q）为

当Q从a个单位变到b个单位时，以上这些总量的改变量就可以表示为

例6　设某种产品生产Q单位时的边际成本和边际收益分别为

（1）当固定成本C（0）＝2时求出成本、收益、利润；

（2）当产量为4时，固定成本为18，求成本的函数表达式；

（3）当产量从10增加到100时，求成本的增量；

（4）当产量为多少时，利润可以达到最大？最大利润又是多少？

2.资本现值和将来值

资本现值指的是货币资金现在的价值，将来值指的是货币资金未来的价值，及其在未来的本利之和.

设有P元人民币，把它存入可获利息的银行，若以连续利率r计息，t年以后的将来值为

若t年以后得到R元人民币，则现值（现值需要存入银行的金额）为

设在时间区间［0，T］内t时刻的单位时间收入为R（t），称之为收入率.若按年利率为r的连续复利计算，则在时间区间［t，t＋dt］内的收入现值为R（t）e－rtdt，用微元法的思想，则在［0，T］内得到的总收入的现值为

特别地，当收入率R（t）是常量A，称之为均匀收入率.如果年利率r也为常数，则总收入的现值为(www.daowen.com)

例7　某栋别墅现售价500万元，首付20%，剩下部分可分期付款，10年付清，每年付款相同.若连续利率r是6%，求每年应付多少万元.

解　每年付款相同，这是均匀流.设每年付款A（单位：万元），因全部付款的总现值是已知的，即现售价扣除首付的部分

于是有

即24＝A（1－0.5488），解得A＝53.19（万元）.故每年应付款53.19万元.

例8　假设以年连续复利率r＝0.1计算，求收益流为100元／年的收益流在20年期间的现值和将来值.

习题　6.6

1.求下列各题中平面图形的面积.

（1）曲线y＝x2＋3在区间［0，1］上的曲边梯形；

（2）曲线y＝x2与y＝2－x2所围成的图形；

（3）曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形.

2.求下列平面图形分别绕x轴与y轴旋转产生的立体的体积.

（1）曲线y＝与直线x＝1，x＝4，y＝0所围成的图形；

（2）在区上，曲线y＝sinx与直线x＝，y＝0所围成的图形；

（3）曲线y＝x3与直线x＝2，y＝0所围成的图形.

3.设生产某产品的固定成本为100，当产量为x时的边际成本为C′（x）＝3x2－x＋30，求总成本函数.

4.设某产品的边际收入函数为R′（x）＝－x＋9（万元／万台），边际成本函数为C′（x）＝＋4（万元／万台），其中产量x以万台为单位.

（1）求产量x由4万台增加到5万台时利润的增量；

（2）求当产量为多少时，所获利润最大.

5.已知生产某产品x（百台）的边际成本和边际收入分别为

其中C（x）和R（x）分别是总成本函数和总收入函数.

（1）若固定成本C0＝1万元，求总成本函数、总收入函数和总利润函数.

（2）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？