在本章6.1节时，我们解决了曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题，而解决这些问题的基本方法都是：

（1）分割　用任意一组分点

将区间［a，b］分成n个小区间［xi－1，xi］（i＝1，2，…，n），所求总量S也相应地分成n个部分量ΔSi（S在［xi－1，xi］上的增量）.如果整个区间［a，b］上的所求总量S等于各个部分区间上的相应部分量ΔSi之和（也就是所求量具有可加性），即

这是所求总量S能用定积分表示的前提.

（2）近似替代　虽然所求总量S在区间［a，b］上的分布是不均匀的，但我们能用近似替代的方法写出ΔSi的近似表示式，即

这是所求总量S能用定积分表示的关键.

（3）求和　因为有了部分量ΔSi的近似表达式，则所求总量S的近似值可以表示为

（4）取极限　通过求极限的方法，得到总量S的精确值，即定积分

简化上述步骤，得

（1）根据问题的具体情况选取一个积分变量x，确定它的变化区间［a，b］.为了简单起见，省略各小区间的下标，把第i个小区间记为［x，x＋dx］，其中Δxi记为dx，取其左端点x为ξi，如图6.5所示，则对应该区间［x，x＋dx］的部分量ΔS可近似地表示为(www.daowen.com)

由于f（x）是连续函数，所以ΔS－f（x）dx是比dx高阶的无穷小.从而由微分的定义有

即f（x）dx为所求总量的微分元素（简称微元）.

图6.5

（2）因为当λ→0时，将所有微元无限累加，取极限就可以得到区间［a，b］上所求总量，即定积分.所以我们以所求总量的微元f（x）dx为被积表达式，在区间［a，b］上作定积分就是所求总量S，即

上述求总量S的方法，通常称为定积分的微元法.

使用微元法解决实际问题时应当注意以下两点：

（1）所求总量S关于区间［a，b］应具有可加性；

（2）使用微元法的关键在于正确给出部分量ΔS的近似表达式f（x）dx，即

下面我们将介绍利用微元法解决几何、经济中的问题的实例.