定理1　设函数f（x）在区间［a，b］上连续，且函数x＝φ（t）满足以下条件：

（1）φ（α）＝a，φ（β）＝b；

（2）函数x＝φ（t）在区间［α，β］（或［β，α］）上单调且有连续导数；

（3）当t在［α，β］（或［β，α］）上变化时，对应x＝φ（t）的值在［a，b］（或［b，a］）上变化.

则

上式称为定积分的换元积分公式.

证明　由于函数f（x）在［a，b］上连续，故它在［a，b］上可积，若设F（x）是f（x）在［a，b］上的一个原函数，则

因为当x＝φ（t）时，有F（x）＝F［φ（t）］，则由复合函数的求导法则，有

所以F［φ（t）］是f［φ（t）］·φ′（t）的一个原函数，从而

由此可得(www.daowen.com)

定积分的换元积分公式与不定积分的换元积分公式很类似.但是，在使用定积分的换元积分公式时应注意以下两点：

（1）用x＝φ（t）把变量x换成新变量t时，积分的上下限也要相应地换成新变量t的积分上下限，且上限对应于原积分的上限，下限对应于原积分的下限.

（2）求出f［φ（t）］·φ′（t）的一个原函数Φ（t）＝F［φ（t）］后，不必像不定积分那样再把Φ（t）变换成原变量x的函数，只需直接求出Φ（t）在新变量t的积分区间上的增量即可.

通过本例发现，求定积分可以使用定积分的换元公式，也可以使用不定积分的换元公式求出被积函数的一个原函数，再利用牛顿－莱布尼茨公式求解定积分的值.

注：本例中，如果不明确写出新变量，则定积分的上、下限就不需要改变，重新计算如下：

从几何上看，此积分值即为由圆x2＋y2＝a2与x轴和y轴所围成的平面图形在第一象限的面积，所以由定积分的几何意义可以直接得到积分的结果.

例6　设f（x）在对称区间［－a，a］上连续，求证：

注：上述结论也可以借助几何图形去理解，该结果也称为奇偶函数在对称区间积分的性质，该结论以后也可以在定积分的计算时当作一个结论来使用.