由定理1知，变上限积分函数Φ（x）是连续函数f（x）的一个原函数，故有如下原函数存在定理.

定理2（原函数存在定理）　若函数f（x）在［a，b］上连续，则函数Φ（x）＝就是f（x）在［a，b］上的一个原函数.

上述定理不仅肯定了连续函数原函数的存在性，而且还初步揭示了不定积分与定积分之间的关系.因此，它为我们提供了一种通过原函数来计算定积分的方法.

定理3（微积分基本定理）　若函数F（x）是连续函数f（x）在区间［a，b］上的一个原函数，则

证明　已知函数F（x）是连续函数f（x）在区间［a，b］上的一个原函数，并且由定理2知Φ（x）＝dt也是f（x）在区间［a，b］上的一个原函数，于是这两个函数只能相差一个常数，即存在常数C，使得

在上式中令x＝a，得

故有0＝F（a）＋C，则C＝－F（a），从而

在上式中令x＝b，即得

上式称为微积分基本公式，也称为牛顿－莱布尼茨公式.它给出了计算定积分的一个有效的简便算法：当计算连续函数f（x）在［a，b］上的定积分时，只要求出被积函数f（x）的任一原函数F（x），然后计算F（x）在积分区间［a，b］上的增量F（b）－F（a）即可.为了方便起见，F（b）－F（a）也简记为F（x）

例3　求下列定积分.(www.daowen.com)

注：利用牛顿－莱布尼茨公式计算定积分时，要求被积函数在积分区间上连续.例如下面的计算

是错误的．这是因为在积分区间［－1，1］内，点x＝0是被积函数的无穷间断点，被积函数不满足连续的条件．

另外，对于分段函数的积分，只要满足定积分存在的充分条件，则可以根据定积分对区间的可加性，把它拆成几个积分之和，并使每个积分都满足牛顿－莱布尼茨公式的条件．

习题　6.3

1.求下列函数的导数.

2.求下列极限.

3.计算下列定积分.

4.求由方所确定的隐函数y对x的导数.