上述所讨论的两个问题，一个是几何问题，一个是物理问题.虽然其性质不同，但解决的方法是相同的，都可以归结为对定义在某区间上的函数构造出一种结构完全相同的和式，再求和式的极限.实际上这种“分割、近似替代、求和、取极限”的处理方法可以广泛应用于各个领域.我们把这种相同结构的特定和式的极限抽象为一个一般的数学概念——定积分.

定义1　设函数f（x）在区间［a，b］上有定义，用任意n－1个分点xi（i＝1，2，…，n－1）

将区间［a，b］分成n个小区间［xi－1，xi］（i＝1，2，…，n）.第i个小区间的长度记为

在每个小区间［xi－1，xi］（i＝1，2，…，n）上任取一点ξi（xi－1≤ξi≤xi），作和式

其中f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，［a，b］称为积分区间，称为积分和.

根据定积分的定义，我们前面讨论的问题可以分别表示如下：(www.daowen.com)

由曲线y＝f（x）（f（x）≥0），及直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形的面积

物体以速度v＝v（t）（v（t）≥0）做直线运动，从时刻t＝T1到时刻t＝T2通过的路程

关于定积分的定义，有两点补充说明：

（1）如果函数f（x）在区间［a，b］上的定积分存在，我们就称f（x）可积，其定积分是和的极限值，即一个确定的常数，且此常数只与被积函数f（x）和积分区间［a，b］有关，而与积分变量的符号无关.例如：

（2）在定积分定义中假定a＜b，为了方便起见，我们做如下规定：