利用直接积分法和换元积分法，可以解决很多不定积分的计算问题.但是遇到形如∫lnxdx，∫xexdx，∫arctanxdx等类型的不定积分，直接积分法和换元积分法就无法使用了.所以，本节将针对这一类型的不定积分介绍一种新的计算方法——分部积分法.

设函数u＝u（x）和v＝v（x）具有连续导数，则有

移项，得

两边积分，得

上述公式称为分部积分公式.它表明：如果不定积分∫uv′dx不容易计算，而不定积分∫vu′dx相较而言容易计算，则可以利用上述分部积分公式，通过计算积分∫vu′dx而得到积分∫uv′dx的结果.计算时也可以采用分部积分公式的等价形式：

利用此公式的关键在于：适当地将被积函数f（x）表示为u（x）和v′（x）的乘积，所以选择好u和v′很关键，如果选择不当将使积分变得更加复杂，下面将举例说明.

例1　求∫xexdx.

解　设u＝x，v′dx＝exdx，则v＝ex，由分部积分公式的等价形式可得

注：如果设u＝ex，v′dx＝xdx，则v＝从而

显然上式积分比原积分更不容易计算.

例2　求∫xsinxdx.解　设u＝x，v′dx＝sinxdx，则v＝－cosx，从而

读者在运算熟练以后，可以不必写出u和v的具体表达式，而直接利用分部积分公式计算出结果.

由以上两个例子可以看到：当被积函数为幂函数（或多项式函数a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an）与指数函数或正（余）弦三角函数的乘积时，可以采用分部积分法，并且通常选择幂函数为u.这样每使用一次分部积分，就可以使幂函数的方幂降低一次（这里假定幂指数是正整数），从而使得第二个积分∫vdu容易计算，我们把这种类型的分部积分归类为降次型.

例3　求∫lnxdx.

由以上三个例子可以看到：当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，一般采用分部积分法，并选择对数函数或反三角函数为u.因为对数函数与反三角函数求导之后其导数都会产生幂函数，故我们把这种类型称之为转换型.

例6　求∫excosxdx.

移项整理，得

例7　求∫sin（lnx）dx.(www.daowen.com)

由以上两个例子可以看到：一些积分在连续使用分部积分公式的过程中，有时会出现原积分的形式，此时只需求解关于原积分的方程即可得出结果，不过积分结束后等式右边必须加上任意常数C.尤其当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，u，dv可以随意选取，但在两次分部积分中，必须选用相同类型的u.我们把属于上述类型的积分称为循环型.

注：当不定积分的被积函数视为两个函数之积时，选取u和v′的一般方法是：按“反、对、幂、指、三”的顺序，前者为u，后者为v′，其中的“反”是反三角函数，“对”是对数函数，“幂”是幂函数，“指”是指数函数，“三”是三角函数.

在实际的应用中，我们常会遇到既要使用换元积分又要使用分部积分的综合型题目，下面也将举例说明.

例9　已知f（x）的一个原函数是ex，求∫xf′（x）dx.

解　由分部积分法，得

由题意知

上式两端同时对x求导，得

故

当被积函数是某一简单函数的高次幂函数时，我们可以适当选取u，v，通过分部积分后，得到该函数的高次幂积分与低次幂积分的关系，即所谓递推公式，此种类型的不定积分归类为递推型.

每利用一次上式，就可以使被积函数中x2＋a2的指数降低一次，这个公式即为递推公式.由于

逐次应用公式即可求出所有的In.

习题　5.3

1.计算下列不定积分.

（1）∫x2e－xdx；　（2）∫arccosxdx；　（3）∫arctanxdx；

（4）∫exsin2xdx；　（5）∫xln（x－1）dx；　（6）∫arcsinxdx.

2.计算下列不定积分.

3.已知可导函数f（x）的一个原函数是e－x，求∫xf′（x）dx.