如果不定积分∫f（x）dx用直接积分法或凑微分法不易求得，但适当地选择变量代换x＝φ（t），将原积分转换成∫f［φ（t）］φ′（t）dt的形式，此时该积分可以求出，然后回代变量t为φ－1（x），即可求出积分∫f（x）dx.我们称这种计算不定积分的方法为第二类换元积分法.

定理2　设x＝φ（t）是单调可导函数，且φ′（t）≠0，又设f［φ（t）］φ′（t）具有原函数F（t），则

其中t＝φ－1（x）是x＝φ（t）的反函数.

证明　由于F（t）是f［φ（t）］φ′（t）的原函数，所以有

由题意知F［φ－1（x）］是由F（t）和t＝φ－1（x）复合而成，则根据复合函数和反函数的求导法则知，F［φ－1（x）］是f（x）的一个原函数，故有

第二类换元积分法的关键在于根据被积函数的特征，寻找一个适当的代换x＝φ（t），将不定积分的计算变得简单.下面我们将介绍几类常见的变量代换类型.

1.根式代换

2.三角代换

我们把上述代换称为三角代换.使用三角代换求解不定积分时，在将t回代为x时，可以根据代换式x＝φ（t）的形式，构造一个以t为锐角的直角三角形，将会使变量的回代变得简单.下面举例说明.

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图5.2

3.倒代换

一般来说，如果有理分式函数中分母（多项式）的次数较高时，常采用倒代换，即令

为了以后计算不定积分方便，我们将几个重要的积分公式补充到基本积分表中，以便在以后的积分计算中引用.

习题　5.2

1.填空题：

2.计算下列不定积分：

3.计算下列不定积分：