假定下述性质中出现的被积函数其原函数都存在.

性质1　不定积分与微分的关系：

（1）［∫f（x）dx］′＝f（x）或d［∫f（x）dx］＝f（x）dx；

（2）∫F′（x）dx＝F（x）＋C或∫dF（x）＝F（x）＋C.

上述性质可概括为：“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数”.

性质2　求不定积分时，非零常数因子可以提到积分号前面，即

性质3　函数代数和的不定积分等于函数不定积分的代数和，即

上述性质对有限多个函数的代数和也是成立的，即

利用不定积分的性质和基本积分公式，直接求出不定积分的方法，称为直接积分法.

例6　求不定积分∫（x3＋2x－6）dx.

例9　求不定积分∫tan2xdx.

解　∫tan2xdx＝∫（sec2x－1）dx＝∫sec2xdx－∫dx＝tanx－x＋C.(www.daowen.com)

例8、例9表明，对于一些积分表中没有的三角函数的不定积分，可以先利用三角恒等式化成表中所列类型的积分，然后再逐项求积分.

注：我们知道初等函数的导数仍是初等函数，初等函数在其定义区间内连续，从而都有原函数，但它们的原函数却不一定都是初等函数，比如：

等的积分结果就不是初等函数了.

例10　已知生产某产品Q单位的边际成本为C′（Q）＝2Q＋10，且固定成本为15万元，求总成本函数C（Q）.

解　由于总成本函数C（Q）是边际成本函数C′（Q）的原函数，故

又已知C（0）＝15，得C＝15.

习题　5.1

1.设f（x）的导数是cosx，求f（x）的原函数的全体.

2.已知一条曲线在点x对应的切线斜率为2x，且过点（0，2），求该曲线的方程.

3.计算下列不定积分.

4.某企业的边际收益函数是R′（Q）＝150－0.02Q（其中Q是产品的销售量），试求收益函数R（Q）和平均收益函数.