由微分学我们知道：已知变速直线运动的质点的位移函数s＝s（t），则质点的运动速度v（t）就是位移函数的导数，即v（t）＝s′（t）.实际上我们也常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点的瞬时速度v（t），要求出位移函数s（t）.为此，我们需要引入一个新的概念——原函数.

定义1　若函数f（x）和F（x）在区间I上有定义，且F（x）可导，若对任意的x∈I，都有

则称函数F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数.

例如，在区间（－∞，＋∞）内，（sin）x′＝cosx，故sinx是cosx的一个原函数；又因为（2x3＋2）′＝（2x3）′＝6x2，故2x3＋2与2x3都是6x2的原函数，由此我们发现一个函数的原函数可能不唯一.

关于原函数，我们首先要问：一个函数具有什么样的条件能保证它的原函数一定存在？并且如果f（x）的原函数存在，那么它的原函数究竟有多少个？如何找出它的所有原函数？

对于第一个问题先介绍一个结论，其证明将在下一章给出.

定理1　（原函数存在定理）若函数f（x）在区间I上连续，则在区间I上f（x）的原函数一定存在.

定理2　若函数F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则F（x）＋C也是f（x）在区间I上的原函数，其中C为任意常数.

证明　已知函数F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，则

又

由定义1知，F（x）＋C也是f（x）的原函数.

由定理2知，若在区间I上，函数f（x）具有原函数F（x），则它一定有无穷多个原函数F（x）＋C，由此，我们得到了以下的定理.(www.daowen.com)

定理3　若F（x）与G（x）都是f（x）在区间I上的原函数，则

证明　因为F（x）与G（x）都是f（x）在区间I上的原函数，则

于是

故由拉格朗日中值定理的推论2知，G（x）－F（x）为常数，得

综上所述，若函数F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数，那么f（x）的全体原函数为

由此，我们引入不定积分的概念.

定义2　在区间I上，函数f（x）的全体原函数构成的集合，称为函数f（x）在区间I上的不定积分，记作

其中，∫称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量.

由上述定义知：求f（x）的不定积分就是求f（x）的全体原函数，若F（x）为f（x）的一个原函数，则

例1　求下列不定积分.

解　（1）由于（－cosx）′＝sinx，所以－cosx是sinx的一个原函数，所以