无论是理论分析还是实际计算，我们总希望用一个结构简单并且容易计算的函数来近似代替一个比较复杂的函数.实际上，多项式是初等函数中最简单的一类函数，它具有任意阶导数并且运算时只涉及加、减、乘运算，我们自然想到用多项式近似代替其他较复杂的函数.那么，应该用什么样的多项式？它的误差会是多少？下面就来讨论这些问题.

在微分的应用中我们知道，如果函数f（x）在点x0处可导，当很小时，有

这实际上是用一次多项式

近似表示f（x），并且满足条件

但是，这个近似表达式有两个不足之处：其一是精度不高，当x→x0时，其误差仅是比x－x0高阶的无穷小；其二是不能具体估计误差的大小.

为了减少误差，提高精确度，设想用高次多项式（一般为n次多项式）

在点x0附近来近似代替f（x）.若函数y＝f（x）在点x＝x0处至少n阶可导，构造的n次多项式（4.6）它应该满足下列条件：

函数f（x）与多项式Pn（x）在点x＝x0处具有相同的函数值和相同的一阶到n阶的导数值，即

下面根据条件（4.7）来确定多项式Pn（x）的系数a0，a1，a2，…，an的值.先对（4.6）式两端关于x求1阶至n阶导数，得

结合上面（4.6～4.8）式，令x＝x0，得

于是

称式（4.9）为函数f（x）在点x0处关于x－x0的n次泰勒多项式.

记函数f（x）与n次泰勒多项式的差为

则有

上式称为函数f（x）按（x－x0）的幂展开到n阶的泰勒展开式（或泰勒公式），其中Rn（x）为函数f（x）的n阶的泰勒展开式余项.

定理1（泰勒中值定理）　设函数f（x）在含点x0的某个开区间（a，b）内具有直到n＋1阶导数，则对任意一点x∈（a，b），有

证　已知Rn（x）＝f（x）－Pn（x）（x≠x0，x∈（a，b）），显然函数Rn（x）和（x－x0）n＋1在以x和x0为端点的闭区间上连续，在对应的开区间内可导，且（x－x0）n的导数不为零，

由于

则由柯西中值定理，得

再以ξ1和x0为端点的区间上对函数R′n（x）和（x－x0）n再次使用柯西中值定理，得(www.daowen.com)

连续使用柯西中值定理n＋1次可得

上式也称为拉格朗日型余项.如果对于某个固定的n，当x∈（a，b）时，≤M，则有估计式

由泰勒中值定理可知，用多项式Pn（x）近似表示函数f（x）时，其误差

由此可见，当x→x0时，误差是比（x－x0）n高阶的无穷小.即Rn（x）＝o［（x－x0）n］（x→x0），称其为佩亚诺型余项.

在泰勒公式中，如果取x0＝0，则泰勒公式可化为

公式（4.10）称为函数f（x）的n阶麦克劳林公式.

例1　求函数f（x）＝ex的n阶麦克劳林公式.

解　因为f（k）（x）＝ex（k＝0，1，2，…，n，n＋1），所以

于是函数f（x）＝ex的n阶麦克劳林公式为

例2　求函数f（x）＝sinx的2m阶麦克劳林公式.

它们的值依次取四个数值0，1，0，－1，因此函数f（x）＝sinx的2m阶麦克劳林公式为

同理可得cosx的2m＋1阶麦克劳林公式为

例3　试按（x＋1）的乘幂展开函数f（x）＝x3＋3x2－2x＋4.

解　这型未定式，当x→0时，ln（1＋x2）～x2，在分母中使用无穷小代换，将分子中ex和cosx用带佩亚诺型余项的二阶麦克劳林公式表示：

习题　4.6

1.求函数f（x）按（x－4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.

2.求下列函数的麦克劳林公式.

（1）f（x）＝ln（1＋x）；　（2）f（x）＝xe－x.

3.利用泰勒展开式计算下列极限.