1.最低平均成本

设总成本函数为C＝C（Q），则平均成本函数为

由前面第三章学习知总成本函数在Q处的边际成本为

例4　某乡镇企业的生产成本函数是C（Q）＝9000＋40Q＋0.001Q2，其中Q表示产品件数.求该企业生产多少件产品时，平均成本达到最小？并求出其最小平均成本时的边际成本.

解　边际成本函数为

平均成本函数为

其定义域为（0，＋∞）内的整数.

故该企业生产3000件产品时，平均成本最低.最低平均成本为（3000）＝46此时边际成本为C′（3000）＝46.

可见，最小平均成本等于其相应的边际成本.

2.最大利润

在经济学中，总收益和总成本都可以表示为产量Q的函数，分别记为R（Q）和C（Q），假设在产量、销量、需求量一致的情况下，总利润函数为

假设产量为Q0时利润达到最大，在R（Q）、C（Q）均二阶可导的情况下，则由极值的第二充分条件知，L（Q）必定满足

可见，当产量水平Q＝Q0时使得边际收益等于边际成本，且L″（Q0）＜0时，可获得最大利润.即

其中，MR表示边际收益，MC表示边际成本.(www.daowen.com)

上式的经济意义是：当利润达到最大时，边际收益等于边际成本.假如边际收益不等于边际成本，当R′（Q0）＞C′（Q0）时，在产量Q＝Q0的基础上再多生产一个单位产品，则所增加的收益大于所增加的成本，从而利润有所增加；当R′（Q0）＜C′（Q0）时，在产量Q＝Q0的基础上再多生产一个单位产品，则所增加的收益小于所增加的成本，从而利润有所减少，因此，MR＝MC是取得最大利润的必要条件.

例5　已知某产品的成本函数为C（x）＝其中x为产（销售）量，收益函数为R（x）＝105x－x2.求产量x为多少时利润最大.

解　总利润函数为

边际利润为

令

得x1＝11，x2＝－9（舍去），又因为L″（x）＝2－2x，所以L″（11）＜0，故当产量为11时，利润最大.

习题　4.5

1.某工厂生产产量为Q（件）时，生产成本函数（元）为C（Q）＝54＋18Q＋6Q2，求该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？求出其最小平均成本和相应的边际成本.

2.某厂生产某产品，其总成本函数为C（Q）＝200＋50Q＋Q2，市场需求函数为Q＝100－P，求最大利润.

3.某食品加工厂生产某类食品的成本C（元）是日产量Q（千元）的函数C（Q）＝1600＋4.5Q＋0.01Q2，问该产品每天生产多少千克时，才能使平均成本达到最小值？

4.求函数在指定区间上的最大值与最小值.

（1）y＝x5－5x4＋5x3＋1，x∈［－1，2］；　（2）y＝ln（1＋x2），x∈［－1，2］；

（3）y＝x∈［－2，2］；　（4）y＝，x∈（0，＋∞）.