定义2　曲线y＝f（x）上凸与凹的分界点称为该曲线的拐点.

定理2（拐点存在的必要条件）　如果函数y＝f（x）在x0处二阶可导，且在（x0，f（x0））是曲线y＝f（x）的拐点，则f″（x0）＝0.

若f″（x0）＝0，则（x0，f（x0））不一定是曲线y＝f（x）的拐点.例如：曲线y＝x4，有f″（0）＝0，但点（0，0）不是曲线y＝x4的拐点，因为在（－∞，＋∞）内，曲线y＝x4都是凹的.事实上，f″（x）不存在的点也可能是拐点.

定理3（拐点存在的充分条件）　设函数y＝f（x）在点x0的某去心邻域内二阶可导，且f″（x0）＝0或f″（x0）不存在，在点x0的两侧，

（1）若f″（x）的符号变号，则点（x0，f（x0））是曲线y＝f（x）的拐点；

（2）若f″（x）的符号保持不变，则点（x0，f（x0））不是曲线y＝f（x）的拐点.

由定理3可以求连续函数y＝f（x）的凹凸性和拐点的步骤：(www.daowen.com)

（1）求y＝f（x）的定义域；

（2）求f″（x0）＝0或f″（x0）不存在的点；

（3）判断各点两侧f″（x）的符号，从而确定y＝f（x）的凹凸性，若在点的两侧f″（x）的符号变号，则曲线上与该点对应的点就是拐点.

令y″＝0，得x1＝1，且当x2＝0时，y″不存在.x1，x2将定义域（－∞，＋∞）分成3部分区间（－∞，0），（0，1）和（1，＋∞），则列表如下：

由上表可知，曲线在区间（－∞，0）及（1，＋∞）内是凹的，在区间（0，1）内是凸的.点（0，0）和（1，－3）为曲线的拐点.