我们知道在区间［a，b］上的单调函数f（x）（如图4.4）的图象是一条随x的增大而逐渐上升的曲线.此时，曲线上任一点处的切线与x轴正向夹角为锐角，即f′（x）＞0，反过来是否也成立呢？我们有如下定理：

图4.4

定理1　设函数y＝f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，则

（1）若对任意的x∈（a，b），都有f′（x）＞0，则y＝f（x）在闭区间［a，b］上单调增加；

（2）若对任意的x∈（a，b），都有f′（x）＜0，则y＝f（x）在闭区间［a，b］上单调减少.

证明　对于任意的x1，x2∈（a，b），设x1＜x2，在［x1，x2］运用拉格朗日定理，得

（1）当f′（x）＞0，则f′（ξ）＞0，故f（x2）＞f（x1），则y＝f（x）在闭区间上［a，b］单调增加.

（2）当f′（x）＜0，则f′（ξ）＜0，故f（x2）＜f（x1），则y＝f（x）在闭区间［a，b］上单调减少.

注：（1）若将定理中的闭区间换成其他区间（如开区间，半开半闭区间，无穷区间等），结论仍然成立.

（2）若f′（x）在区间（a，b）内的有限个点处的值为零，其余各点处均大于零（或小于零），那么函数y＝f（x）在闭区间［a，b］上单调增加（或单调减少）的.例如：y＝x3在x＝0处有f′（0）＝0，但它在（－∞，＋∞）上单调增加.

例1　确定函数f（x）＝3x－x3的单调区间.(www.daowen.com)

解　函数的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝3－3x2＝3（1－x）（1＋x），令f′（x）＝0，得x＝±1，它们将f（x）的定义域分为三个区间（－∞，－1），（－1，1），（1，＋∞）.

当x∈（－∞，－1）时，有f′（x）＜0；当x∈（－1，1）时，有f′（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，有f′（x）＜0.因此，由定理1知，函数f（x）在区间（－∞，－1）与（1，＋∞）上单调减少，在区间（－1，1）上单调增加.

此例说明x＝±1是函数f（x）＝3x－x3在（－∞，＋∞）上单调区间的分界点，因此，要想确定这一个函数的单调性，这个分界点就非常重要，若f′（x0）＝0，则称点x0为函数f（x）的驻点.

注：单调区间的分界点可能是函数的驻点也可能是导数不存在的点，例如y＝｜x｜在（－∞，0］上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增，显然x＝0是单调区间的分界点，但是函数y＝｜x｜在x＝0不可导.

依据上述讨论及定理1得出求函数y＝f（x）的单调性的一般步骤如下：

（1）求函数的定义域；

（2）求函数f′（x）；

（3）求出函数的驻点和f′（x）不存在的点，并以这些点为分界点将定义域分为若干个子区间；

（4）判断各个子区间f′（x）的符号，从而由定理1得出单调性.

令f′（x0）＝0，得驻点x＝2，0和2将定义域区域分为三个子区间（－∞，0），（0，2），（2，＋∞），下面讨论函数的导数f′（x）在每个部分区间内的正负，列表如下表.______

由上表可知，在区间（－∞，0］上函数单调增加，在区间（0，2］上函数单调减少，在区间（2，＋∞）函数单调增加.