实际中经常会遇到一些函数表达式较复杂的运算，但是结果又并非要求十分精确，在这种情况下，可考虑使用微分来做近似的计算.

当函数y＝f（x）在点x0的f′（x0）≠0时，函数微是函数值增量Δy的线性主部，所以当且｜Δx｜很小时，

例7　有一批半径为1cm的球，为了提高球面光滑度要镀上一层铜，厚度为0.01cm.估计一下每只球需要多少铜.（比重8.9g／cm3）

解　球体积为v＝问题变为当R0＝1变到R0＋ΔR＝1＋0.01时，求Δv.

因为v′＝4πr2，所以Δv≈dv＝4πR2ΔR，将数据代入可以算出

所以每只球需要铜0.13×8.9＝1.16g.

特别地，当x0＝0，利用f（x）≈f（0）＋f′（0）x，很小，可证得以下的几个公式：

（2）sinx≈x，tanx≈x，其中x为弧度；

（3）ex≈1＋x，ln（1＋x）≈x.

例8　求e－0.005的近似值.

解　由ex≈1＋x，得

例9　求cos 29°的近似值.(www.daowen.com)

习题　3.5

1.已知y＝x3，当x＝1时分别计算Δx＝1，0.1，0.01时的Δy和dy.

2.用适当的函数填入下列各括号中，使等式成立.

3.求下列函数的微分.

4.计算下列函数值的近似值.

（1）（2）sin 29°；

（3）arctan1.02；（4）cot 46°.

5.求由下列方程确定的隐函数y＝y（x）的微分.

（1）y＝x－arctan（y－2x）；　（2）xy2＋ey＝cos（x＋y2）.

6.设y＝a2≠1，求证：

7.一个平面圆环形，其内半径为10cm，宽为0.1cm，求其面积的精确值与近似值.