在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x有微小变化时，求函数y＝f（x）的微小改变量.

这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数，Δy本身是Δx的十分复杂的函数，于是就产生了这样一个问题：如何寻找一种近似公式，使Δy是Δx的线性函数，而误差要相对小，这就是函数的微分要解决的问题.

引例　设正方形边长为x，面积为S＝x2，边长由x0变到x0＋Δx，面积改变了多少？

解　边长由x0变到x0＋Δx，相应的正方形面积的增量为

由上式可以看出，ΔS由两项组成，当｜Δx｜很小的时候，第一项是ΔS的主要部分，第二项是比Δx的高阶无穷小，即（Δx）2＝ο（Δx）.因此，我们可用第一项来近似ΔS，即ΔS≈2x0Δx.(www.daowen.com)

定义1　若函数y＝f（x）在点x处可导，在x0处的增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）可表示为

其中A为不依赖于Δx的一个常数，则称y＝f（x）在x0处可微，称AΔx为f（x）的微分.记为，即

即可微函数的增量可分为两部分：一部分是微分它是Δx的线性函数，是函数增量的主要部分，称为线性主部，另一部分是当Δx→0时的高阶无穷小量，当相当小时，在近似计算Δy时可以忽略不计.