定理1　如果函数y＝f（x）在点x0处可导，则函数y＝f（x）在点x0处连续.

证　设函数y＝f（x）在点x0可导，即存在，由极限与无穷小量的关系知

其中α是Δx→0时的无穷小量.上式两端同乘Δx，得

由此可见，当Δx→0时，Δy→0.即函数y＝f（x）在点x0连续.

由例2知，函数f（x）＝在x＝0点不可导但在点x＝0处是连续的.所以函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导.

例9　讨论函数

在x＝0处的连续性与可导性.

解　因为

所以函数f（x）在x＝0处连续.

又因为(www.daowen.com)

上述极限不存在，所以f（x）在x＝0处不可导.

由于f（x）在x＝1处可导，所以f（x）在x＝1处连续，故a－b＝1.

所以a＝－1，代入a－b＝1中解得b＝－2.故当a＝－1，b＝－2时，函数f（x）在点x＝1处可导.

习题　3.1

1.设f（x）＝4x2，根据导数的定义求f′（－1）.

2.用导数定义求函数的导数.

（1）f（x）＝cosx；　（2）f（x）＝lnx.

3.已知f′（x0）存在，求下列极限.

4.求曲线f（x）＝在点（1，1）处的切线方程与法线方程.