定理4（介值定理）　设函数f（x）在闭区间[a，b ]上连续，且在区间的端点取不同的函数值f（a），f（b），那么，对于f（a）与f（b）之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）＝C（a＜ξ＜b）.

证明　设φ（x）＝f（x）－C，则φ（x）在闭区间[a，]b上连续，且φ（a）＝f（a）－C与φ（b）＝f（b）－C异号，根据零点定理，在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得φ（ξ）＝0（a＜ξ＜b），而φ（ξ）＝f（ξ）－C，则由上式可得f（ξ）＝C（a＜ξ＜b）.

介值定理的几何意义：介于两条水平直线y＝f（a）与y＝f（b）之间的任一条直线y＝C与曲线y＝f（x）至少有一个交点（如图2.10）.

推论　在闭区间上连续的函数必可取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.

证明　设m＝f（x1），M＝f（x2），而m≠M，在闭区间[x1，x]2上应用介值定理，即得上述推论.(www.daowen.com)

图2.10

习题　2.8

1.证明方程x2x－1＝0在开区间（0，1）内至少有一个实根.

2.设函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，证明：至少有一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）＝ξ.