初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而成的，而基本初等函数在其定义域内都是连续函数，因此讨论初等函数的连续性，只需讨论连续函数经过有限次四则运算和有限次复合而成的函数的连续性问题.

根据连续函数的定义，利用极限的运算法则，可以得到如下两个定理.

定理1（连续的四则运算法则）　如果函数f（x），g（x）在某一点x0处连续，则f（x）±g（x），f（x）·g（x），（其中g（x0）≠0）在点x0处都连续.

定理2（复合函数的连续性）　设函数u＝φ（x）在点x0处连续，y＝f（u）在u0处连续且u0＝φ（x0），则复合函数y＝f［φ（x）］在点x0处连续，即

由上面的定理可以知道，具有连续性的复合函数，极限符与连续的函数符号“f”可交换次序，亦即极限符号可以穿过函数符号在函数内求极限.

因为，基本初等函数在其定义区间内是连续的，则由连续函数的四则运算法则和复合运算法则，以及初等函数的定义，我们可以得到一个重要结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.(www.daowen.com)

利用函数的连续性，求初等函数的极限问题就可以转化为求函数值的问题，它比求函数的极限简单易求.

习题　2.7

4.求下列函数的间断点并说明其类型.

5.求下列函数的极限.