令xn＝，我们证明数列{xn}满足准则Ⅱ的条件.

（1）数列{xn}是单调增加的.

由牛顿二项式定理，有

比较xn与xn＋1中相同位置的项，可知它们的前两项相同，从第三项到第n＋1项，xn＋1的每项都大于xn中对应的项，且xn＋1还多了一个正项，因此

这就说明数列{xn}是单调增加的.

（2）数列{xn}是有界的.

从而0＜xn＜3，即数列{xn}是有界的.

根据极限存在准则II，数列xn＝的极限存在.虽然数列{xn}的极限存在，但并未给出数列{x}n极限的具体数值，由于其推导超出本书范围，所以，这里将直接给出数列{xn}的极限值是无理数e，数e是一个重要的无理数，其值为2.718 281 828 459 045….

综上所述，有

利用这个结果和夹逼准则，我们可以证明（证明略），对于一般的实数x，仍有(www.daowen.com)

如果做变量替换，令t＝，则当x→∞时，t→0，于是有

例9*　连续复利问题.

已知储蓄存款的本金为A0，年利率为r，则t年后本利和（连续复利）是多少？

解　若以一年为计息单位，则t年后的本利和为A0（1＋r）t；

这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利；当一年内计息期数n→∞时的复利称为连续复利.

习题　2.5

1.求下列函数的极限.

2.求下列函数的极限.

3.一投资者将要用1000元投资5年，设年利率为6%，试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算，到第5年末，该投资者应得的本利和是多少？