定理1　设在自变量x的同一变化过程中，limf（x），limg（x）均存在，且limf（x）＝A，limg（x）＝B.则

注：上述法则中的“lim”是指x→x0（或x→∞）的同一极限过程.

证明　因为limf（x）＝A，limg（x）＝B，由第3节中的定理2有

其中α（x）及β（x）是x的同一变化过程中的无穷小，于是

即f（x）±g（x）可表示为常数A±B与无穷小[α（x）±β（x）]之和，由第3节定理2知

定理1的结论（1）（2）可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况.

例如，如果在自变量x的同一变化过程中，limf（x），limg（x），limh（x）都存在，则有

推论1　若limf（x）存在，C为常数，则

这就是说，求极限时，常数因子可以提到极限符号外面.(www.daowen.com)

推论2　若limf（x）存在，且n是正整数，则

解：由极限的四则运算法则很容易得到

即分母的极限不等于0，所以由定理1的法则（3），有

解　当x→3时，由于分子、分母的极限均为0，所以不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”，常用的方法有因式分解、有理化等.

解　当x→4时，由于分子、分母的极限均为0，可采用对分子中的二次根式有理化的方法去掉分母中的“零因子”，于是有

解　当x→∞时分子、分母都趋向于无穷大，不能直接用商的极限法则，将分子、分母同除以x的最高次幂x3，有

一般地，设a0≠0，b0≠0，m，n为自然数，对于分式函数有

注：无穷多个无穷小的和不一定为无穷小，求其极限时不能直接用四则运算法则.