【知识准备】

年金（A）指在一定时期内，每隔相同时间收付相等金额的系列款项。其特点为等额性、定期性、系列性。这里年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。年金是复利的一种特殊形式。长期存款的利息收入、长期借款的利息支出、按直线法计提的年折旧额、定期支付的保险金、分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款等，都属于年金收付的形式。

年金按其每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等几种，如图2−3所示。

图2−3　年金种类

注意：普通年金和即付年金的共同点与区别如下：

（1）共同点：第一期开始均出现收付款项。

（2）区别：普通年金的收付款项发生在每期期末；即付年金的收付款项发生在每期期初。

一、普通年金

普通年金是指每期期末有等额收付的款项，又称为后付年金。这是最为常见的年金形式，如图2−4所示。

图2−4　普通年金

（一）普通年金终值的计算

普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和，用F表示。如图2−5所示。

图2−5　普通年金终值

普通年金终值的计算公式为：

将上式两边同时乘以（1+i），得：

将②式减去①式，得：

整理得：

式中，称为年金终值系数，记作（F/A，i，n）。

则年金终值的计算公式也可写成：

【例2−5】某人每年年末存入1 000元，银行存款利率为10%，4年后该人可获得多少钱？

（二）偿债基金的计算

偿债基金是指为使年金终值达到既定金额，每年年末应支付的年金数额。即已知年金终值F，求年金A。

其计算公式为：

偿债基金系数为：

结论：

（1）偿债基金与普通年金终值互为逆运算；

（2）偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。

【例2−6】某企业拟在5年后还清10 000元债务，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项，银行存款利率为10%，每年需存入多少钱？

偿债基金系数可根据普通年金终值系数求倒数确定：

因此，在银行利率为10%时，每年存入1 638元，5年后可得10 000元，用来偿还债务。

（三）普通年金现值的计算

普通年金现值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利现值之和，用P表示。

图2−6　普通年金现值

普通年金现值的计算公式为：

将上式两边同时乘以（1+i），得：

将②式减去①式，得：

整理得：

式中，称为年金现值系数，记作（P/A，i，n）。

普通年金现值的计算公式也可写成：

注意：年金终值系数（F/A，i，n）与年金现值系数（P/A，i，n）彼此并不是互为倒数的。

【例2−7】假设某公司有一个投资项目，2000年年初动工，当年建成投产，从投产之日起每年可得收益40 000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。

（四）年资本回收额的计算

年资本回收额是指为了收回现在的投资，在今后的一段时间内，每年收回相等数额的资金。即已知普通年金现值P，求年金A。

其计算公式为：

资本回收系数为：

结论：

（1）资本回收额与普通年金现值互为逆运算；

（2）资本回收系数和普通年金现值系数互为倒数。

【例2−8】某人以10%的利率借得20 000元，投资于某个寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金才是有利的？

二、即付年金

即付年金是指每期期初有等额收付款项的年金，又称为先付年金。如图2−7所示。

图2−7　即付年金

（一）即付年金终值的计算

即付年金终值是指最后一期期末时的本利和，是各期期初收付款项的复利终值之和。例如：每期期初存入1万元，共存3年，年利率为10%，终值为多少？

方法一：在0时点之前虚设一期，假设其起点为0′，于是可以将这一系列收付款项看成是0′ ～2之间的普通年金，将年金折到第2年年末，然后再将第2年年末的终值折到第3年年末，如图2−8所示。

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图2−8　即付年金终值（方法一）

方法二：在0时点之前虚设一期，假设其起点为0′，同时在第3年年末虚设一期存款，使其满足普通年金的特点，然后将这期存款扣除，如图2−9所示。

图2−9　即付年金终值（方法二）

注意：即付年金终值系数与普通年金终值系数的关系如下：

①期数+1，系数−1；

②即付年金终值系数=普通年金终值系数×（1+i）。

【例2−9】某人每年年初存入500元，银行存款利率为12%，问第10年年末的本利和为多少？

方法一：

方法二：

（二）即付年金现值的计算

即付年金现值是指各期期初收付款项的复利现值之和。例如：每期期初存入1万元，共存3年，年利率为10%，现值为多少？

方法一：把即付年金看作是一个期数为3的普通年金，然后乘以（1+i），如图2−10所示。

图2−10　即付年金现值

方法二：首先将第1期支付扣除，看成是n−1期的普通年金现值，然后再加上第1期支付。上例，首先将第1期支付扣除，看成是第2期的普通年金，然后再加上第1期支付。

注意：即付年金现值系数与普通年金现值系数的关系如下：

①期数−1，系数+1；

②即付年金现值系数=普通年金现值系数×（1+i）。

【例2−10】王先生分期付款购车，每年年初付款20 000元，分5年付清，银行年利率8%，该分期付款相当于一次现金支付的价格是多少？

方法一：

方法二：

三、递延年金

递延年金是指第一次收付款项发生时间不在第1期期末，而是间隔若干期后才发生的系列等额收付款项，是普通年金的特殊形式。如图2−11所示。

图2−11　递延年金

前m期没有收付款项，这m期称为递延期，从第m+1期开始，每期有等额的收付款项。

（一）递延年金现值的计算

方法一：先加上后减去，如图2−12所示。

图2−12　递延年金现值（方法一）

（1）假设递延期每期期末也发生收支，有收付款项A，即变成一个（m+n）期的普通年金，求出（m+n）期的普通年金现值：

P=A(P/A,i,m+n)

（2）再扣除没有发生收支的m期递延期的普通年金现值，其计算公式为：

P=A[(P/A,i,m+n)−(P/A,i,m)]

方法二：两次折现，如图2−13所示。

（1）把递延年金视为n期的普通年金，先求出递延年金在n期期初的现值。

（2）再将它作为终值折现到m期期初，其计算公式为：

P=A·(P/A,i,n)·(P/F,i,m)

图2−13　递延年金现值（方法二）

方法三：先求递延年金的终值，再将终值换算成现值。

P=A(F/A,i,n)(P/F,i,m+n)

【例2−11】假设羽裳公司向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至第20年，每年年末偿还本息5 000元。用两种方法计算该笔款项的现值。

方法一：P=A×（P/A，10%，10）×（P/F，10%，10）=5 000×6.145×0.386=1186（0元）

方法二：P=A×[（P/A，10%，20）−（P/A，10%，10）]=5 000×（8.514−6.145）=11845（元）

方法三：P=A×（F/A，10%，10）×（P/F，10%，20）=5 000×15.937×0.149=11873（元）

（二）递延年金终值的计算

递延年金终值的计算与普通年金终值的计算一样，只是要注意期数。

F=A(F/A,i,n)

注意：式中的n表示的是A的个数，与递延期无关。

四、永续年金

永续年金是一种无限期等额支付的年金，即期限趋于无穷的年金。由于永续年金没有终止时间，因此没有终值，只有现值。永续年金是一种普通年金的特殊形式。

因为永续年金的持续期是无限的，故当n→∞时，，因此永续年金现值的计算公式为：

【例2−12】某校准备设立永久性奖学金，每年计划颁发36 000元奖金，年利率为12%，该校现应向银行存入多少本金？

【实务训练】

实训2−5　李四欲购买一幢房屋，按销售协议规定，如果购买方于购买时一次付清房款，需支付房款20万元；如果采用5年分期付款方式，则每年需支付房款5万元；如采用10年分期付款，则每年需支付房款3万元。银行存款利率为10%。

要求：

1.如银行允许每年年末支付款项，试确定李四采用的付款方式。

2.如银行允许每年年初支付款项，试确定李四采用的付款方式。

实训2−6　华强机械有限公司计划投资100万元建设一个项目，4年后投产，预计该项目投产后使用6年，每年可获取收益20万元，银行存款利率为10%。问该项目是否可行？

【思维培养】

在个人住房公积金贷款中，利率为10%，期限为10年，贷款12万元，每年还款计划见表2−1。

表2−1　每年还款计划　元

思考：

1.每年的利息计息基础是多少？

2.越到后面年份，你越想提前还款吗？为什么？

【教学视频】