人们开始对原来的状态参数提出某一概率分布，后来通过调查又获得许多信息，只要原来信息不是错误的，则应该用后来的补充信息修正原来的认识，并用补充的情报改进原来的概率分布。

将依据过去的信息或经验由决策者估计的概率称为主观概率；

未收到新信息时，根据已有信息和经验，估计出的概率分布称为先验概率；

用随机试验确定出的概率称为客观概率；

收到新信息，修正后的概率分布称为后验概率。

在事件B 已经发生的条件下，事件A 发生的概率，称为事件A 在给定B 下的条件概率：

下面给出贝叶斯公式：

若A1，A2，…构成一个完备事件，P（Ai）＞0，则对任何概率不为零的事件B，有

公式（11.37）为后验概率。

例如，根据以往的经验，产品需求量的概率如表11-14 所示。

表11-14

产品进入市场进行两个月试销后，需求量的样本信息（比例）如表11-15 所示。

表11-15

例11-7　盒子里有100 枚均匀的硬币，其中，有60 枚是正常的，有40 枚两面都是国徽。从盒子中任取一枚让你猜是哪一类硬币，猜中得5 元，猜不中不得钱。你猜是哪一类？

表11-16

获利的期望值：

正确的决策是：应该选择猜正常。

如果现在抛掷3 次，3 次都出现国徽，你又如何猜？该硬币是正常的概率为多少？是双国徽的概率为多少？

设H 为3 次出现反面这一随机事件，B1为硬币正常这一事件，B2为硬币双国徽这一事件，则

3 次都出现双国徽的概率为：

用后验概率代替原来的概率，决策矩阵如表11-17 所示。

表11-17

获利的期望值

正确的决策是：应该选择猜双国徽。

根据过去经验可知，在自然状态为Nj条件下调查结果为Zk的条件概率为：

再利用贝叶斯公式和全概率公式，求在结果为ZK的条件下自然状态为Nj的条件概率：

在后验分析中，用 P（Nj| Zk）代替先验分析中的P（Nj），利用期望值准则计算出Ek：

再根据全概率公式，可知结果为Zk的概率为

因此，后验分析的效益期望值为

当状态只有两个时，后验概率及期望收益可用快捷公式计算。记先验概率向量为P，条件概率矩阵为A，后验概率矩阵为B，收益矩阵为V，则(www.daowen.com)

则先验收益期望值向量为

后验收益期望值矩阵为

例 11-8　某厂领导需对一台机器的换代问题做决策，其中有三种方案可供选择：A1为买另一台新机器；A2为对老机器进行改建；A3是维护加强.输入不同质量的原料，三种方案的收益如表11-18 所示。约有30%的原料是质量好的，可以花600 元对原料的质量进行测试，这种测试的可靠性如表11-19 所示，求最优方案。

表11-18

表11-19

解 （1）若不做测试，各方案的先验收益分别为：

则万元，应选方案3，维护老机器。

（2）计算后验概率。

已知则联合概率为：

边际概率为

代入式（10.2），从而可得后验概率：

即当测试结果为原料的质量好，则购买新机器；若测试结果为原料的质量差，则维护老机器。

决策为：应花600 元进行测试，测试后若质量好，购入新机器生产；若质量差，维护老机器生产。

例11-9　石油开发决策问题。

表11-20

表11-21

表11-22

表11-23

勘探好的概率：

勘探不好的概率：

勘探不好时有油的概率

勘探不好时干涸的概率

勘探好时干涸的概率

勘探好时有油的概率