为实现更加统一的理解需要建立一个基本观点，即形态关系本质上是建立在两个无交集的对象集之上的，在这里就是代表了区位和线性要素的点和线。这些对象集可以是城市形态的任意要素，如街道和它们的交汇点、建筑地块和街道，甚至两组不同的街道对象集或是一组街道和一组铁路等。但是不管是什么对象集，它们都必须是没有交集的，并且它们间的关系必须是清晰的。在空间句法中，第一个街道集合被定义为L=｛ℓ|i，k=1，2，…n｝，而第二集合是街道交点，被定义为P=｛ρ|j，l=1，2，…m｝。如果一条街道有一个交点或一个交点在一条街道上，这被定义在nxm矩阵中，其元素为

图6.3a是对图6.2a根据方程6.2进行的可视化。这是一张表现线和点关系的二部图，从中可以清楚地看到，对于任意给定的线i，与之相关的点的数量为：

而与任意点j相关的线的数量为：

方程6.3和6.4分别定义了关联二部图的出度和入度。接下来我们将不再进行这样的求和，因为每次运算都是一样的。本章和下一章中的概念表达方式与本书其他部分类似，但变量和参数的符号会稍微有些不同。不过，我们会努力让差异最小化，以便与其他章节中类似的图和矩阵概念进行比较。

图6.3　空间句法的二部图

实际上，线-点的不对称性，以及方程6.3及6.4中的线和点的直接连通性指标已经反映了这种表现方法的原始-对偶特征。我们看到，线并不比点更重要，反之亦然。实际上，二维图和空间句法表现方法是同一框架中的不同情况，可以很容易进行比较。注意到在二维图中，每条线的点数量固定为ℓi=2，∀i（因为每条街道段的起始和结尾都有一个交点），那么任意图对平面性的偏差可以表示为ψ=∑iℓi/2n。对于后面我们将要提到的加桑村庄来说，ψ=1.065，这意味着相比二维图来说，街道段相关节点的数量只多了6.5%。指标｛ℓi｝和｛ρj｝是我们对直接联系的衡量，我们将会看到，这是阐释空间句法中可达性的关键指标。

这些测量简单地统计了每条线上的点数量和经过每个点的线数量，但更普遍的方法是检查任意两条线的共有点数量或是任意两个点的共有线数量。这构成了问题的原始和对偶特性。任意两条线的共有点数量是由矩阵给出的，其中的元素ℓik定义为：

对其可视化的最佳方法是将逆向的二部图与原始图联系起来，如图6.3 b中所示，任意线i和线k之间的共有路径数量就是从i到k的路径数。表现线之间的共有点数量的这种方法马上体现出L=［ℓik］是对称的，同样也反映在矩阵L的入度和出度中，这就形成了我们对线的可达性的衡量。可以表示为：

ℓik本质上是空间句法图，但实际上图被分割了，所有线条之间的相关数量信息都被去除，因此矩阵变成二元的。从而得到：

需要注意的是，被分割的方程6.7中还缺失了自环的强度。实际上，这种分割类型是不必要的，因为这导致了关系强度这样有价值的信息的损失。所以，我们认为空间句法的应用更应该建立在ℓik而不是Zik的基础上。然而，这个细节的区别对下面的分析并没有本质影响。(www.daowen.com)

紧接着的是对偶问题，它可以用类似的方法来描述。首先，任意两个点的共有线数量可通过下面的方程计算：

而基于入度和出度，对图中直接联系或可达性的测量可以表示为：

图6.3c描述了这种等价二变量图表示法，其中矩阵P=［ρjl］很清楚是对称的，并且可以得到两个点的共有线的路径数量。

原始问题和对偶问题以一种有趣的方式相互关联，实际含义就是如何将点的可达性转译为线的可达性，反之亦然。我们需要通过矩阵概念来展现这点，矩阵提供了一个更简约的方式来揭示这种互锁的本质。像在第3章中那样，我们用粗体的大写字母和小写字母分别来表示矩阵和矢量。首先是关联性A=［aij］的基本nxm矩阵。我们将这个矩阵转置为AT，但是在我们需要使用单位矢量1来计算这类矩阵的元素总和时，并不会因为转置而有所区别，因为环境决定使用方式。现在，我们可以根据方程6.3、6.5和6.6将原始（空间句法）问题表述为：

其中L（以及）是对称的：L=LT=（AAT）T=AAT，并且（1AAT）T=L1。对偶问题具有一个类似的结构：

其对称性也是类似的。两个问题之间的关系很容易阐述。在方程6.11中，如果我们将ρ=1A右乘AT，我们导出：

而如果我们将ℓ=A1左乘AT，我们就得到：

这些关系的含义有些复杂。方程6.12中任意两条线的共有点的数量，可以被视为每个点上存在的线数量的卷积。每对点上的共有线的数量也有类似阐释。实际上，在后面章节特别是在第三篇中，我们会讨论社会相互作用、网络、交易相关性乃至冲突解决过程等概念，并通过基本二部图更广泛地揭示这些关系，这还提出了我们认为这门科学中一个很重要的关键内容，即仅研究相互作用矩阵还不够，我们还需要考虑这些相互作用矩阵是怎么形成的。二部结构是其中的关键点，丰富了迄今仍然缺失的分析内容。

实际上，ℓ、、ρ和将成为直接可达性和连通性的关键指标，我们将在后面部分中使用和比较它们。但在我们全面讨论原始和对偶问题图中的距离之前，我们需要了解方法的起源。在第3章中，我们探讨了在20世纪中期之前和之后的社会性权力和计量社会学，用二部图来表现决定了个体间的链接和多种属性的关系结构。在社会网络理论中这些图被称为双模图（two-modegraph），以区别于代表不可分的关系集的单模图（one-mode graph）（Borgatti and Everett，1997）。然而，阿特金（Atkin，1974）提出了“Q分析法”，第一次在城市分析领域提出阐释两个集之间的关系。这种分析方法从包括对偶和原始特性的矩阵A中阵列的关系开始，但用一种被称为简单复形（原始）及其共轭（对偶）的几何方式表示。Q分析法并没有被广泛应用，可能是因为它相对晦涩的描述，而它也很少与图论联系起来。

科尔曼（Coleman，1973）从另一个很不一样的视角，在社会交换研究中探索了这种原始-对偶框架。巴蒂和廷克勒（Batty and Tinkler，1979）进行了总结并将之与图论相联系，巴蒂（1981）进一步将其与设计决策过程中的社会性权力相关联。直至最近，这个研究框架仅偶尔被涉及，但在近期对网络及其进化和统计的研究热潮中又被重新发掘出来。本书的第三篇将基于这些概念，届时我们主要关注冲突解决和达成共识过程中涉及的相互作用模式。在瓦特（Watts，2003）和纽曼（2003）用小世界特征分析社会网络的研究中，广泛应用了这个框架。对空间句法中的替代图论关系的检测有一些尝试（参见Kruger，1989），江斌和克拉拉蒙特（Jiang and Claramunt，2000）认为本质上是对偶图的可视图，其分析对象更多关注点而非线。这与我们本章中的观点一致。波尔塔、克鲁西提和拉托拉（Porta、Crucitti and Latora，2006a，2006b）提出了一个明确的原始-对偶特征描述，采用了与我们类似的方法，试图扩展测量街道系统可达性的空间句法方法。