高一数学知识汇总与实用技巧(2篇)

标题：探索数学模型在实际问题中的应用

在现代社会，数学模型的应用越来越广泛，特别是在解决实际问题时，函数的建立和应用显得尤为重要。本篇文章将探讨如何通过实例来理解不同类型的函数，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数，并通过数据分析对其进行深入探讨，从而提升解决问题的能力。

学习目标

1. 理解各种函数在实际生活中的应用，体会如何通过建立数学模型来解决问题的过程，以增强我们对函数的理解与运用能力。

2. 培养对统计数据的分析能力，初步掌握处理和解读数据的方法。

在学习过程中，我们将通过具体的案例分析，深入理解函数模型的构建及其在实际场景中的应用。例如，某医学院在面对非典疫情时，迅速建立了动态预测模型，利用实时数据进行参数拟合，以作出有效的疫情控制策略。这种数学模型不仅为决策提供了科学依据，也展示了数学在公共卫生领域的重要性。

新课导入

案例分析

考虑一个租水的企业，其日常运营成本固定为200元，每桶水的进价为5元。根据销售价格与销量的关系，若我们列出以下数据：

| 销售单价（元） | 日销售数量（桶） |

|------------------|---------------------|

| 6 | 480 |

| 7 | 440 |

| 8 | 400 |

| 9 | 360 |

| 10 | 320 |

| 11 | 280 |

| 12 | 240 |

我们需要分析如何以最佳价格销售水，从而实现利润最大化。通过建立利润函数，可以清晰地看到定价与利润之间的关系。

另一个例子是关于身高与体重的关系。假设我们对某地区未成年男性的体重进行调查，并记录如下数据：

- 身高与体重数据 (cm和kg的关系)

- 通过建立合理的函数模型来表述这两者之间的关系，从而判断特定身高下体重的正常范围。

在此过程中，我们将积累数据，通过散点图与模型选择来探索函数的性质，最后进行实际验证，以确保得到的模型符合我们观察到的数据。这样，模型建立的核心步骤便是从数据收集到模型检验的一系列过程。

动手实践

以某同学的任务完成情况为例，在这位同学完成9小时工作后，各个时间点的完成百分比记录如下：

| 时间（小时） | 完成百分比 |

|---------------|--------------|

| 1 | 15% |

| 2 | 30% |

| 3 | 45% |

| 4 | 60% |

| 5 | 60% |

| 6 | 70% |

| 7 | 80% |

| 8 | 90% |

| 9 | 100% |

通过建立一个数学表达式，我们可以进一步分析工作完成情况的趋势。这不仅能够帮助我们了解任务的完成效率，还能推测出在具体时间段内的工作量。

同时，还有另一个典型例子是关于电子产品的促销策略。设定在不同商场的购买计划，通过对比两家商场不同的售价与促销策略，帮助客户选择更具性价比的购买方案。这不仅加深了学生对价格弹性的理解，还培养了他们利用模型进行实际决策的能力。

总结与反思

在此次学习中，我们不但认识了函数模型的重要性，还理解了在实际问题中建立和运用数学模型的基本流程。通过案例分析和动手实践，学生可以更深入地了解数据分析与处理的方法，以及在决策中如何合理使用数学工具。

扩展

在后续学习中，学生们还可以探索更多类型的函数模型，例如：

1. 线性函数模型：通过简化的关系反映变量之间的变化。

2. 二次函数模型：适用于描述一些成对关系的情况。

3. 指数函数模型：用于表示某些快速增长或衰减现象。

4. 对数函数模型：解决相关性较弱的变量。

此次学习不仅提高了同学们对数学的兴趣，也培养了处理复杂实际问题的能力，让我们在今后的学习中进一步探索更深层次的数学应用。

新标题：高一数学探究——二次函数与零点关系 新内容： 【学习目标】 1. 理解一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系，以此探讨零点的存在性。 2. 理解零点存在性定理，并掌握它在实际问题中的应用。 学习流程 一、课前准备 1. 复习一元二次方程的形式：\( ax^2 + bx + c = 0 \)（其中 \( a \neq 0 \)），明确解法及判别式的定义。 2. 复习判别式的意义： - 当 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不同的实数根； - 当 \( \Delta = 0 \)，方程有一个重根； - 当 \( \Delta < 0 \)，方程无实数根。 3. 探讨一元二次方程的根与对应二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象之间的联系。 二、新课导学 研究与探索 探索任务一：零点与方程根的关系 考虑函数的零点，它对应于方程的解。理解以下问题： 1. 若方程的解为 \( x_1 \)，则函数的图象与x轴有几个交点？对应的坐标是什么？ 2. 结合此可得结论：一元二次方程的实数根就是其对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。你是否能将此关系推广至其他形式的方程？ 新概念引入： 对于函数 \( f(x) \)，使 \( f(x) = 0 \) 的实数 \( x \) 被称为零点。 反思问题： 零点的概念、方程的根及图象与x轴交点横坐标之间存在哪些实际关系？ 探讨任务二：零点存在性定理 我们接下来将应用零点存在性定理： 1. 绘制函数 \( f(x) \) 的图象，并观察各个区间内 \( f(x) \) 的符号。 2. 探究函数是否在这些区间内存在零点，以及证实零点数量的变换。 新知识： 在连续的函数图象中，若某区间内的函数值 \( f(a) < 0 \) 和 \( f(b) > 0 \)，那么在此区间内必定存在至少一个零点 \( c \)，使得 \( f(c) = 0 \)。 示例与练习 示例问题： 例如，求函数的零点数量。变式问题可以要求找到这些零点所在的区间。 实践环节 练习1：求以下函数的零点： 1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4 \) 2. 函数 \( g(x) = x^2 + 2x + 1 \) 练习2：求函数 \( h(x) = x^2 - 1 \) 的零点所在的大致区间。 三、总结提升 - 学习小结 - 理解零点概念。 - 理解零点、x轴交点与方程根之间的紧密关系。 - 掌握零点存在性定理的应用及其重要性。 - 拓展知识 - 函数图象的连续性及其零点的性质： 1. 当函数图象过零点时，函数值发生符号变化。 2. 相邻零点之间的函数值保持同号。 学习评价 - 自我评价：本节学习自评为（ ），选择如下选项： - A. 很好 - B. 较好 - C. 一般 - D. 较差 - 课堂检测题目： 1. 函数的零点个数为（ ），选项待定。 2. 若函数在某区间连续且有变化，则该函数在该区间（ ），选择适合的选项。 课后作业 1. 计算函数的零点所在的大致区间，并描绘其图象。 2. 定义函数在不同条件下的零点情况，求解并分析其意义。