康德和他的追随者们在断言有先天综合判断时，首先指向数学。但是，我们在早先的几个章节的考察中已经对数学的判断作了相当清楚的分析。毫无疑问，数学包含着严格有效的真理，因而在这个限度内数学判断是先天的。但是，正如我们在本书第7节中所指出的，数学的绝对精确性，仅就它纯粹是一种概念性科学而言可以看作是得到保证的。例如在几何学中我们看到，通过蕴涵定义来定义数学概念而抽掉它们的全部直观内容，这是可能的。现代数学不仅承认以这种方式引入和规定概念是可能的，而且它自身也必须遵循这条道路，因为除此之外没有别的办法能够使它保证其命题的严格性。因此，考虑几何学概念必须撇开可能有的而且通常认为具有的直观内容。

这样看来，数学是由纯粹的概念性命题组成的。它并不产生任何实在的知识，因而，在这里，它无须涉及我们的问题。它的真理全都从一个公理系统以三段论的演绎方式推导出来，这种公理系统只有规定基本概念的意义。因此，组成这个公理系统的只是分析的真理，它们只是把定义所规定的基本概念之间的关系加以展开。在这个意义上说，几何学的判断是先天的，但它们根本不是综合的判断。

在这里，我们又面临早先就提出而推延至此才加以讨论的问题：数学命题是不是真的具有超出纯粹概念性范围以外的意义呢？如果我们把一种直观的内容赋予数学概念，那么数学命题是不是真的还保持着绝对的有效性呢？如果果真如此，那么诸如“直线”、“平面”之类的词语的意思就不再被看做仅仅由蕴涵定义来规定的了；它们就会被当作是表示我们惯于用这些表达式所表示的空间结构了。这样一来，上面这个问题就成了：几何学作为一种空间科学是否也是一种先天的科学？

如果回答是的，那么我们就得承认，认为空间结构所保持的正是由基本的几何学概念的蕴涵定义所规定的相互关系的观念是普遍有效的了。但是这样一来，这些相互关系就不再是定义而是综合命题了，因为这些词的意思已经改变了。公理就会涉及直观的东西而不是涉及概念了。

几何学的个别的定理当然像以前一样是纯粹分析地从公理推出的。它们与空间结构相一致这个事实也不会提出进一步的问题。对这一事实感到迷惑不解的人只能归咎于对问题作了错误的表述，即我们在前面36节中提醒人们加以防备的情况。康德的观点认为从公理中引出几何定理要借助于直观而且不可能没有直观而获得这些定理。这种观点必须加以纠正。如我们在第7节中所说的，现代几何学的一个重大发现就是证明绝不需要有直观；证明可以通过纯粹的逻辑演绎来进行。

尽管所有这些改正在方法论上都是极为重要的，但它们还是没有接触到要害之处。只要公理是先天综合判断，那么任何定理，即使是分析地从公理推出的定理，都必须被看作综合的。因为定理和公理所说的都是同样的东西：公理的内容分析地包含着定理的内容；定理预设了它所处理的对象恰好具有公理所规定的属性。

可是，按照康德的看法，作为空间科学的几何学的陈述的确具有绝对的有效性，因而是先天的。但它们也是关于实在的判断，因为空间本身虽然不是实在的事物，但要把它看作感性的实在总在其中给予我们的形式。它是我们的直观的形式，而且我们通过几何科学认识到这种作为纯直观的形式具有似法则的律则性。这种律则性自然必须是十分确定的，它可以通过十分确定的几何学系统如欧几里德几何系统来表达。因为只有当这种规则性作为感性意识的似法则形式彻底地固定下来，它才能够先天地规定经验世界的形式或形状。

许多世纪以来，欧几里德几何学都被认为是空间的几何学。欧几里德几何公理被当作绝对有效的，任何人都不会产生可能用欧几里德公理以外的公理来描述空间属性的想法。所有这一切似乎都在说明康德观点的正确性，同时也说明他认为存在的纯直观具有欧几里德几何的性质。事实上，这也就是如今的康德主义者们的看法。当然，他们也承认欧几里德几何学以外的几何学是可以设想的；但他们相信，只有欧几里德几何学才能在直观上表现出来，因而物理对象必定在欧几里德空间里表现出来。即使有人会断言我们的直观与之相一致的法则是非欧几里德的，他也仍然可以保持康德主义其余部分的立场不受损害。然而，就我所知，还从来没有一个人提出过这样的论断。不过，也有人提出这样一种意见（V.亨利，《认识论的空间问题》，柏林，1915年），认为虽然一定有某种特别的几何学对于直观的空间是唯一有效的，但我们决不可能确定它是哪一种几何学；科学只能给我们提供日益接近的近似值，但决不可能确立绝对确实的公理的有效性。按照这种观点，几何学的先天综合判断对我们来说总是带有可疑的性质。显然这种观点是不能令人满意的。它一方面声称我们具有先天综合判断，但同时又否定我们能够确定这种先天综合判断。这样，几何学就其作为空间知识来说便失去了它的价值。

还有一个似乎可以说有利于康德主义者的无可争辩的事实，那就是，感官经验决不可能迫使我们依据一种特殊的几何学来描述自然。经验决不能证明某种几何学是经验空间中唯一有效的几何学。原因不仅仅是由于知觉的模糊性，对欧几里德几何的微小偏离总是可能的，而且还由于我们总是能够使经验事实充分地与我们所希望的任何几何学相一致，只要我们以适当的表述方法来表达自然法则。特别是亨利·彭加勒注意到几何学以特殊的方式独立于经验（特别是在他的《科学与假设》和《科学与方法》中）。我在另一个地方（《现代物理学中的空间与时间》，第4版，柏林，1922年）详细地讨论了这个问题，因而不需要在这里重复这些论点。如果经验本身不可能明确地决定必须采取何种几何学作为对我们的空间有效的几何学，那么这似乎有利于康德主义关于空间的性质是独立于经验而由我们的直观形式决定的观点。

经验的、感性的直观不可能为我们确定公理的有效性。的确，我们相信能够直接地看出，给定一条直线和不在该直线上的一点，通过这个点只能画出一条直线与给定直线相平行。假定画出第三条直线与第二条直线形成百万分之一度的角，经验的直观决不可能确实地告诉我们，这条新的直线是否真的将会与第一条直线相交，原因很简单，就是因为那么微小的角度在直观上是表现不出来的。但是从欧几里德时代直至如今，大多数人都认为，他们能够直接了解欧几里德平行线公设的正确性。而要使这一点能够成为可理解的，看来只有我们的意识在事实上支配着一种“纯粹”的直观，它远远超过空间的感性直观的确实性，从而具有康德所赋予它的那种意义。

要驳斥康德主义的理论，如果仅仅指出，当今的大多数数学家（如果我们继续使用同样的例子）无论如何都发现不了平行线公设是完全明显的，那是不够的。对于这样一种间题，求助于主观上的相信是毫无意义的。那只是诉诸信仰，因而会使我们陷入自明性理论的各种不当之见（见第19节）。

主张在经验直观之外或更准确地说在经验直观之中存在着“纯”直观，可能更容易从另一个方面引起疑问。常常有这样一种情况，某些假设的见解通过数学分析就可以证明它是错误的。对于这种理论来说自然是致命的。一种必然的直观形式是不可能出错的：实际上，全部要点就是要解释它的正确性，它的有效性。在我看来，下面的例子可作例证：

任何依靠直观的人都一定会断定说，对一条完全连续的曲线可以画出一条切线。但这种说法是错误的。有一些完全连续的曲线（维尔斯塔斯首先写出了这样一条曲线的方程）在任何点上都不具有一条切线。（因为这些点的方程任何地方都不是可微分的。）在这里，直观使我们陷入了困境。

在我看来，这样一种例子已经足以证明纯粹直观的理论在许多特例中是不能成立的。但是我们用不着在这些特例上花费时间或着力强调。我们还是要依据更一般的和极为根本的根据来驳斥康德的观点，对于这些根据，我们在早先的一些章节中已作了充分的阐述。

基本之点就是，几何命题的有效性不可能建立在纯粹直观的基础上，理由很简单，那就是，几何学空间并不是直观的空间。

直观的空间并非只有一种，而是有多少空间感觉，就有多少种直观的空间。因而，就有一个视觉空间（实际上是有两个视觉空间，因为人是有两只眼睛的生物）、一个触觉空间、一个动觉空间。所有这些空间彼此都是根本不同的。然而，几何学空间只有唯一的一个，而且它不等同于其他这些空间中任何一个。它具有与这些其他空间不同的属性（见前面，第29节）。它是一种概念性构造，借助于前面描述的重合方法从个体感官的空间材料中产生。这种重合方法使各种个别的主观空间要素彼此一义地互相配列，这又导致形成客观空间中“点”的概念。

客观空间（以及日常生活的空间）是在思维中加到知觉的直观空间材料上的东西。正如我们很容易给这些直观的空间材料加上欧几里德关系那样，也很容易加上非欧几里德关系。因为这里所涉及的只是加上用以解释直观材料的概念，而这些直观材料的结构当然是完全没有改变的。(www.daowen.com)

康德还是继续谈论“唯一的”空间，宣称它是直观的空间，只是把它与自在之物的不知道的次序相对立。另一方面，我们则直接体验到几种直观空间并把这些直观空间同物理物体的次序（正是几何学空间的次序）相对立。几何学空间的非直观的性质是不容置疑的（见前面29节接近结尾处）。在直观空间中欧几里德公理并不是有效的。例如，我们早先说过，视觉空间是一种黎曼空间，而触觉和动觉空间当然不能先天地算作欧几里德空间（见前面，第29节）。这样，我们便回答了本节开头提出的问题，即如果我们给几何学概念赋予直观意义，那么几何学是否还保持它的有效性？回答是否定的。为空间直观所特有的某种几何学公理是决不可能的。因为我们并不具有几何学空间的直观。

几何学空间是使我们能够借以用尽可能简单的形式表达自然法则而建立起来的一种概念性结构。只有几何学空间才能决定对几何学公理的选择。但是要注意，我们并不需要等到物理科学已经发展起来之后才能以这种方式来确立和选择几何学公理。日常生活的经验非常丰富地包含了对自然的似法则的律则性知识。如果没有某种几何学概念，那么甚至连物体的概念也不可能形成。我们所提示的观点似乎在无意识地指导着人们；只有通过一系列的最富创造性的研究（像彭加勒那样的研究），我们才能够认识到果真是这种观点在指导着我们。

欧几里德几何已经成为日常生活的几何学，直到不久以前，它似乎还在为自然科学的全部目标提供合适的基础。然而，新物理学在其最勇敢和最美妙的一着中，从爱因斯坦的引力理论中作出结论：如果我们想要以最大的精确性和通过最简单的法则来描述自然，那么就不能用欧几里德的度量的规定性来解决。按照爱因斯坦的引力理论，在宇宙的每一个地方都必须运用一种不同的几何学，一种依赖于那个地方的物理状态（引力势）的几何学。根据爱因斯坦最近的著作，很可能作为整体的宇宙空间最好可以看作是具有近似于“球面的”性质（因而是有限的，但当然又是无界的）。

不能太多强调我们不应当按照这样一种理论来设想空间。如果我们要坚持欧几里德几何学不变，那么也没有什么经验能够阻止我们这样做。但那样一来，我们就得不到对自然法则的最简单的表达，因而物理学体系本身就变得不怎么令人满意。然而，任何一个认真研究了爱因斯坦理论这个如此精妙地简化了整个世界图景的理论并深入了解其内容的人，都会毫不怀疑地认为欧几里德几何在物理学中的独占地位已经结束。对自然界的物理学描述并不限于任何特殊的几何学，也没有什么直观要求我们必须依据欧几里德公理系统，把它作为唯一正确的公理系统，当然也没有什么直观要求我们必须依据任何非欧几里德系统来进行这样的描述。我们选择——起初是本能地，最近时期是谨慎地——那些能够导致最简单的物理法则的公理。但是，如果我们愿意付出更复杂地表达自然法则的代价，原则上我们也可以选择别的公理。因此，对公理的选择从根本上看是由我们自由决定的。

这就意味着这些公理是定义。

我们发现的就是，几何学，不仅作为纯粹概念性科学而且还作为空间科学的几何学并不是从先天综合命题产生的，而是从约定产生的（见第一部分，第11节）。它只是在这些蕴涵定义中进行推论，定理可以严格地从这些定义中推导出来，就这个意义上说，它的性质是纯粹分析性的，因而是绝对有效的。但是关于实在的空间关系的陈述则不属于这种纯粹的几何学，更准确地说，这些陈述是这种纯粹几何学对于经验材料的部分运用。它们是对量杆行为以及物体方位的判断。它们本身的属性是后天的、综合的判断；只有经验才能决定它们的有效性。爱因斯坦有一段话目前非常出名，这段话就表达了这样的见解：“就几何学原理是有效的来说，它们并不涉及实在；就它们涉及实在来说，它们并不是严格有效的”（《几何学与经验》，第3页以后）。

几何学的空间是标示实在的次序的概念性工具，并不存在纯粹的空间直观这种东西，也不存在关于空间的先天命题。

只要我们弄清了几何学真理的有效性，那么了解算术对于我们所要考察的问题的意义就是一件容易的事情了。我们在算术命题中是不是或许会找到在几何学中徒劳寻找的这种先天综合判断呢？

康德由于受到他的体系结构的误导，认为时间直观对算术所起的作用类似于空间直观对几何学的作用。但是，好在他没有进一步发挥这一观点，因为这种观点当然是不能成立的。诚然，计数是要花时间的；但是如果想要从这一事实中推论出时间和数的概念之间更加密切的关系，那就严重地混淆了心理学观点和认识论观点。一切心理活动都在时间中发生；但是从这一点不可能推出在这些心理活动中我们所想的是什么。数和空间直观的联系也只是心理的而不是逻辑的联系。我们通过空间性对象（数黑板上的点或者数手上的指头）来表示算术关系，这个事实对算术命题的有效性来说当然是无关紧要的。

当然，在这里还不可能充分地弄清算术的认识论地位。只有更深入地探讨数学哲学，才能有这样的澄清，我希望在另外的地方来作这种探讨。在这里，关于现在的情况，我只想再说几句话。

我们早先引述的（第7节）关于纯几何学是分析一演绎的、几何学的全部定理都可以从蕴涵定义中推导出来的证明，是由希尔伯特作出的，他所依据的前提是，算术是这样一种真理系统，该系统完全没有矛盾，因而仅仅是由关于以蕴涵方式定义的概念的分析判断所构成。最近，弗莱格、皮亚诺以及其他一些人的著作决定性地证明了，全部数学命题都可以从少数几条公理中推导出来。但是，只有在证明了算术是自洽的以后才能证明这些公理可以被看作基本的算术概念（特别是数）的蕴涵定义。因为互相矛盾的判断是什么也规定不了的，它们只是空洞的词语结构。在新近的一些卓越的研究中，希尔伯特以及他的合作者贝纳斯已经基本上成功地完成了这个证明，因而算术判断的纯粹分析的性质是确实无疑的。这种判断的有效性不是基于直观。诚然，希尔伯特的证明似乎也要借助于直观。但他并没有因此把任何综合的成分引进数学的判断，因为在他的证明中，直观不是作为有效性的根据，而只是作为一种理解的手段而出现的。在这里，直观的作用不是认识论的，而是心理学的。不过，现在我们不可能更详细地来谈这个问题。

就“几何学”这个词来说，我们必须对这个词是指纯粹的概念性科学还是指空间科学加以清楚地区分。我认为，就算术来说就没有与此类似的区分。的确，我们似乎不得不把纯粹形式的（希尔伯特的）数的概念（数的本质只在于满足某些公理）同“内涵性的”概念区分开来，按照内涵性概念，一个数被认为是一定量的对象（或者更好是用罗素的说法，是“类的类”）。这第二种数的概念的发展（按照罗素采取的途径）导致一种算术理论，尽管其性质是纯粹逻辑的，根据其出发点仍然可以把它称之为实在论的算术理论。这种理论与希尔伯特理论的关系如同空间科学与纯形式的抽象几何学的关系一样。但是，我相信，这种区别只是表面上的，通过更仔细的分析（我必须承认，我还没有成功地完成这种分析），数的形式的和内涵的概念——希尔伯特的数的概念与罗素的数的概念——结果就会成为同一种概念。

康德把算术命题的有效性建立在直观的基础上，对这种理论，无论如何必须加以拒斥。即使在数的科学中有先天综合判断，它们的有效性也不是基于直观形式，至多不过是基于思维的形式。至于这种思维的形式到底可能意指什么，我们将在下一节加以研究。

但是，是不是或许还有其他一些判断要在时间的纯粹直观中寻找其基础呢？康德所列举的作为从时间直观中综合地而又先天地产生的很少几个基本命题（时间只有一维；不同的时间不是同时性的，而是前后相继的；不同的时间都是同一时间的各个部分），其内容都是极为贫乏的。康德所提出的关于时间的28条原则，按照叔本华的看法，只是表示一种装饰而已。事实上，对于时间直观所作的评述和所得出的结论也同样是对于空间直观的评述和结论。我们知道（见第28节），就时间来说，我们也必须把依据心理的研究作出经验判断所涉及的直观的时间同数学的或客观的时间加以区别。数学的或客观的时间像空间一样是一种概念性构造，形成这种构造又要受自然科学必须采取尽可能简单的理解形式这个原则所支配。这种对时间的观点在自然科学中最近已经得到相对论的确认，相对论表明，牛顿的“平直流动”的时间已不再能够坚持下去了，我们必须依照描述自然过程相关的参照系的运动状态使用不同的时间尺度。只有以这种方式我们才能通过最少量的概念成功地提供一种解释（见我的论文《相对论原理的哲学意义》，《哲学杂志》，第159卷）。

因此，作为物理学知识基础而出现的“时间科学”一如几何学那样，并不是直观的科学，不是实在的科学。它是一种概念性工具，它的基本原则是定义而不是综合判断。

在这样说的时候，我们便对康德主义的直观形式的理论作出了判断。对本节开头提出的问题的回答是否定的；想要寻找一种纯粹直观用来作为给经验直观提供形式和规律性基础的做法是徒劳枉然的。空间和时间不是在使绝对的、普遍有效的综合判断成为可能这个意义上的先天直观形式。精确科学的基本的空间和时间的判断实际上并不具有康德所深信不疑的先天综合的性质。差不多在我们的研究一开始的时候就产生的怀疑现在又继续增长了：人并不具有这样一种判断因而根本没有对实在的绝对有效的知识。