知识要求：

1．熟悉平面汇交力系合成的方法；

2．掌握力矩大小的计算及其方向的判断；

3．掌握力偶及力偶系的合成。

技能要求：

1．能分析物体所受的平面汇交力系；

2．能分析物体所受的力矩和力偶。

了解和掌握平面力系中平面汇交力系合成、力偶的概念、力偶的合成、力偶系的合成等知识，是进行机械静力学分析的基础。本任务要求学生掌握平面力系中几种特殊的简单力系，并能够运用这些知识分析汽车转向盘的受力。

1．力矩

（1）力矩的概念

力对物体可以产生移动和转动两种效应。移动效应取决于力的大小和方向；转动效应取决于力矩的大小和方向。

如图4－24所示，当用扳手拧紧螺母时，力F对螺母拧紧的转动效应不仅与力F的大小有关，而且与转动中心O到力F的垂直距离d有关。

图4－24　力对点之矩

因此，在力学中以物理量Fd及其转向来度量力使物体转动中心O转动的效应，这个量称为力F对O点之矩，即力矩，记作

式（4－12）中d为点O到力F作用线的垂直距离，称为力臂，单位为mm。点O称为力矩中心，简称矩心，力矩是代数量。

一般规定，力使物体绕矩心做逆时针方向转动时，力矩为正；反之，做顺时针方向转动时，力矩为负。力矩的单位是N·m。

（2）力矩的性质

1）力对点之矩不仅取决于力的大小，而且与矩心的位置有关；力等于零或力的作用线通过矩心时，力矩为零。

2）力对点之矩不因该力沿其作用线移动而改变。因为力沿其作用线移动时，力和力臂均未发生改变。

3）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和等于零。互成平衡的两个力对同一点之矩的大小相等、转向相反，即一个为正值，另一个为负值，所以其代数和为零。

（3）合力矩定理

若力FR是平面汇交力系F1，F2，…，Fn的合力，由于力FR与力系等效，则合力对任一点O之矩等于力系各分力对同一点之矩的代数和，即

式（4－7）称为合力矩定理。

当力矩的力臂不易求出时，常将力分解为两个易确定力臂的分力（通常是正交分解），然后应用合力矩定理计算力矩。

2．力偶和力偶矩

（1）力偶的概念

在力学中，把同时作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力称为力偶，记作

（F，F′）

力偶的两个力所在的平面称为力偶的作用面。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，用d表示。

力偶对物体的转动效不仅与力偶中力的大小成正比，而且还与两力作用线间的垂直距离d成正比。因此，在力学中以物理量Fd及其转向来度量力偶对物体的转动效应，称为力偶矩，如图4－25所示，并记作M（F，F′）或M，即

图4－25　力偶的表示

力偶矩为代数量。一般规定，力偶使物体做逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之，做顺时针方向转动时，力偶矩为负，如图4－26所示。力偶矩的单位是N·m。力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方位为力偶的三要素。

图4－26　力偶矩的正负表示

（2）力偶的性质

1）力偶在任一坐标轴上投影的代数和为零。

2）力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须用力偶来平衡。力偶只能使物体产生转动效应。

3）力偶对其作用面上任意点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

4）同平面内的两个力偶，如果力偶矩大小相等，力偶转向相同，则两力偶等效。

根据力偶的等效性，可以得出两个推论：

1）力偶在其作用面内可以任意移转动，而不改变它对刚体的转动效应。

2）在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应，如图4－27所示。如图4－28所示，汽车方向盘的受力就是力偶等效的真实应用。

［例4－3］汽车操纵系统的踏板装置如图4－29所示。已知a＝380mm，b＝50mm，α＝60°，工作阻力F＝1700N，驾驶员的蹬力FP＝193.7N，求阻力F和蹬力FP对O点的矩。

图4－29　汽车操纵系统的踏板装置受力

解：根据式（4－6）可得：

Mo（FP）＝－FPa＝－193.7×0.38＝－73.61（N·m）

Mo（F）＝－Fbsinα＝1700×0.05×sin60°＝73.61（N·m）

1．平面力偶系的合成

作用在同一平面内的若干力偶，称为平面力偶系。平面力偶系的合成，即是把力偶系中的所有力偶用一个与它等效的合力偶来代替。

平面力偶系的合力偶矩等于各个分力偶矩的代数和，即

2．平面力偶系的平衡条件(www.daowen.com)

平面力偶系的合成结果为一合力偶，因此，若使刚体在平面力偶系作用下处于平衡状态，即力偶系对刚体无转动效应，则合力偶矩必须等于零，即

由此，平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。式（4－10）称为平面力偶系的平衡方程。

图4－30　气缸盖受力

［例4－4］要在汽车发动机气缸盖上钻四个相同直径的孔，如图4－30所示。估计钻每个孔的切削力偶矩为M1＝M2＝M3＝M4＝－15N·m。若用多轴钻床同时钻这四个孔，则工件受到的总切削力偶矩有多大？

解：作用于气缸盖上的四个力偶位于同一平面内，各力偶矩大小相等、转向相同，则作用在工件上的合力偶矩为

M＝∑Mi＝M1＋M2＋M3＋M4＝4×（－15）＝－60（N·m）

各力的作用线在同一平面内，既不汇交于一点，也不平行的力系，称为平面任意力系。

1．力的平移定理

若要将一个力平行移动到刚体内的任一点，而不改变它对刚体的作用，则必须在该力和新的作用点所决定的平面内附加一力偶，该力偶的力偶矩等于原来的力对新的作用点之矩，如图4－31所示。

图4－31　力的平移

逆定理：可以将一个作用在B点的力和一个作用在同平面内的力偶合成一个作用在A点的力。

2．平面任意力系的简化

设在刚体上作用一平面任意力系F1、F2，…，Fn，各力的作用点分别为A1、A2，…，An，如图4－32（a）所示，在平面内任选一点O，称为简化中心，利用力的平移定理，将力系中各力分别平移到O点，得到一个作用于O点的平面汇交力系F1′、F2′，…，Fn′和一个附加的平面力偶系M1＝MO（F1），M2＝MO（F2），…，Mn＝MO（Fn），如图4－32（b）所示。平面汇交力系F1′、F2′，…，Fn′可以合成一个力FR′，平面力偶系M1＝MO（F1），M2＝MO（F2），…，Mn＝MO（Fn）可以合成一个力偶MO，如图4－32（c）所示。

图4－32　平面任意力系的简化

（1）力系的主矢

平移力F1′、F2′，…，Fn′组成的平面汇交力系的合力FR′，称为原平面任意力系的主矢。FR′的作用点在简化中心O点，大小等于各分力的矢量和，即

在直角坐标系中，则有

式中，Fx、Fy——主矢F′R和各力在x、y轴上的投影；

FR′——主矢的大小；

α——FR′与x轴所加的锐角，FR′的指向由∑Fx和∑Fy的正负来确定。

（2）力系的主矩

附加的平面力偶系M1＝MO（F1），M2＝MO（F2），…，Mn＝MO（Fn）的合力偶矩的大小为MO，称为原平面任意力系对简化中心O点的主矩。MO等于力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，即

注意：选取不同的简化中心，主矢不会改变，因为主矢总是等于原力系中各力的矢量和。也就是说，主矢与简化中心的位置无关，而主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。一般来说，主矩与简化中心有关，提到主矩时一定要指明是对哪一点的主矩。只有主矢和主矩共同作用才与原力系等效。

3．平面任意力系的平衡方程

平面任意力系平衡的充分必要条件为：力系的主矢和对任意点的主矩都为零，即

由此式可得平面任意力系的平衡方程为

式（4－16）说明平面任意力系平衡的解析条件是：力系中各力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，并且各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。

1）带着以下问题观察汽车的转向盘。

①汽车转向盘的作用是什么？

②转向盘在常规作用下的受力性质是什么？

③为何在驾驶时，单手握转向盘是不合理的？

④如果有三个力作用在转向盘上，并且此时转向盘保持平衡，这三个力能汇交吗？

2）如图4－33所示，图中力F1、F2、F3、F4、F5作用线均与转向盘相切，且F1平行于F3、F2平行于F5，大小分别为50N、80N、50N、70N、80N，方向盘半径为365mm，分析后回答下列问题：

图4－33　转向盘的受力分析

①图中所示力系是否为一平面汇交力系？

②试求每一个力对转向盘中心之矩。

③过F4与转向盘切点的水平直线上有一点A，A点距此切点距离为350mm，若已知F4与水平线的夹角为30°，试计算F4对A之矩。

④转向盘上有没有力偶作用？如果有，请合成。

⑤转向盘在此力系作用下会产生什么效应？

1．力偶矩的________、________和________称为力偶的三要素。

2．力偶对物体的作用效果取决于什么？与力偶的作用位置是否有关？

3．力偶对物体产生的运动效应为________。

A．只能使物体转动
B．只能使物体移动
C．既能使物体转动，又能使物体移动
D．它与力对物体产生的运动效应有时相同、有时不同

4．如图4－34所示，力F对B点的力矩为________。

图4－34　题4图

A．FL
B．2FL
C．－FL
D．0

5．如图4－35所示，100N的力作用于扳手柄端。当α角为何值时，该力矩最小？当α角为何值时，该力矩最大？

图4－35　题5图