知识要求：

1．了解构件自由度、约束等概念；

2．掌握机构自由度的计算方法；

3．掌握判定机构具有确定运动的条件。

技能要求：

1．能根据机构运动简图计算简单机构的自由度；

2．能判定机构是否具有确定运动。

组成机构的各构件之间应具有确定的相对运动，不能产生相对运动或无规则乱动的一堆构件是不能称为机构的。为了使组合起来的构件能产生相对运动并具有运动确定性，就必须研究平面机构自由度的计算和机构具有确定运动的条件。那么机构自由度如何计算？机构具有确定运动的条件是什么？本任务将详细介绍相关内容。

图1－20　平面构件的自由度

由若干构件组成的机构，构件之间需要用某种方式连接起来，以便得到不同形式的相对运动。为了便于进一步分析两构件之间的相对运动关系，引入自由度和约束的概念。如图1－20所示，在xOy坐标系中有一个构件S，当它尚未与其他构件连接之前是自由构件，可以产生3个独立运动，即沿x轴方向的移动、沿y轴方向的移动和绕其上任一点A的转动。这种构件相对于参考系的独立运动称为自由度。很显然，一个做平面运动的自由构件具有3个自由度。如将构件S用钉子从点A钉在墙面上，构件S就无法独立地沿x或y方向运动，只能绕钉子（点A）转动，其自由度受到限制。对构件某个独立运动的限制作用称为约束，每增加一个约束，构件就减少一个自由度。

机构相对于机架所具有的独立运动数目，称为机构的自由度，通常以符号F表示。如前所述，做平面运动的自由构件有3个自由度，即平面机构的每个活动构件，在未用运动副连接之前都有3个自由度。当两个构件组成运动副之后，它们的相对运动就会受到约束，自由度随之减少。不同种类的运动副引入的约束不同，所保留的自由度也不同。在平面机构中，每个低副引入两个约束，使构件失去两个自由度，而保留一个自由度；而每个高副引入一个约束，使构件失去一个自由度，保留两个自由度。

设某平面机构共有N个构件，除去1个固定构件机架，则机构中的活动构件数为n＝N－1。这n个活动构件在未用运动副连接之前共有3n个自由度，当用运动副连接起来组成机构后，机构中的各构件由于约束的关系，自由度数目减少。若机构中低副数为PL个，高副数为PH个，则机构中全部运动副引入的约束数为2PL＋PH。因此，自由度的计算可用活动构件的自由度总数减去运动副引入的约束总数，即

这就是计算平面机构自由度的一般公式。由式（1－2）可知，机构的自由度与组成机构的活动构件数目、运动副的数目及运动副的性质有关。

［例1－3］计算图1－19缝纫机脚踏板机构的自由度。

解：缝纫机脚踏板机构中有3个活动构件，即n＝3；4个低副和0个高副，即PL＝4，PH＝0。根据式（1－2）得

F＝3n－2PL－PH＝3×3－2×4－0＝1

［例1－4］计算图1－17（b）中凸轮机构的自由度。

解：图1－17（b）所示的凸轮机构中有2个活动构件，即n＝2；有2个低副，其中1个转动副、1个移动副，即PL＝2；有1个高副，即PH＝1。根据式（1－2）得

F＝3n－2PL－PH＝3×2－2×2－1＝1

［例1－5］分析如图1－21所示牛头刨床的导杆机构，求该机构的自由度。

图1－21　牛头刨床的导杆机构

解：该机构共由6个构件组成，其中7个低副和0个高副，即活动构件为n＝5，PL＝7，PH＝0。根据式（1－2）得

F＝3n－2PL－PH＝3×5－2×7＝1

机构的自由度是指机构相对于机架所具有的独立运动的数目。机构中从动件是不能独立运动的，只有原动件才能独立运动。由前述可知，例1－2、例1－3计算出的机构的自由度数都与原动件的件数相等。机构原动件的独立运动都是外界给定的，如给出的原动件数不等于机构的自由度，或者机构的自由度数小于或等于0，将会发生什么情况呢？

1）如图1－22所示，其自由度F＝3×2－2×3＝0，说明各构件间是不能产生相对运动的，它是一个静定桁架。

图1－22　静定桁架

2）如图1－23所示，其自由度F＝3×3－2×5＝－1，说明构件间是不能产生相对运动的，它是一个超静定桁架。

图1－23　超静定桁架

3）如图1－24（a）和图1－24（b）所示，其自由度F＝3×3－2×4＝1；如图1－24（c）所示，其自由度F＝3×4－2×5＝2。说明图中各构件间是可以产生相对运动的，现将其分为以下几种情况进行讨论。

图1－24　F＞0的机构组合
（a）原动件数＝F；（b）原动件数＞F；（c）原动件数＜F

①在图1－24（a）中，只有活动构件1为原动件，即F＝原动件数，这说明其是自由度为1的机构，任取某一活动件为原动件，并给定其运动规律，其他从动件的运动也随之确定。

②在图1－24（b）中，活动构件1和活动构件3为原动件，即F＜原动件数。如果要同时满足原动件1和原动件3的给定运动，机构中最弱的构件必将损坏，如构件2被拉断、构件1或构件3折断。

③在图1－24（c）中，只有活动构件1为原动件，即F＞原动件数。当给定原动件1的位置角φ1时，从动件2、3、4的位置不能确定，不具有确定的相对运动。

综上所述可知，机构具有确定运动的条件为机构的自由度必须大于零，且原动件的数目W必须等于自由度数F，即

［例1－6］计算图1－15所示颚式破碎机主体结构的机构自由度，并判定运动情况。

解：该机构中有3个活动构件，即n＝3；4个低副和0个高副，即PL＝4，PH＝0。根据式（1－2）得

F＝3×3－2×4＝1

该机构由皮带轮驱动，原动件个数为1，即W＝1。

根据式（1－3）可知W＝F＝1，颚式破碎机具有确定的运动。

计算机构自由度的过程中常会出现一些特殊现象，在计算时需要格外注意。

1．复合铰链(www.daowen.com)

两个以上的构件在同一处以同轴线的转动副相连接，就构成了所谓的复合铰链。如图1－25（a）所示的机构中，B处为由2、3、4三构件构成的复合铰链。如图1－25（b）所示，构件4与构件2铰接构成一个转动副，构件4与构件3铰接也构成一个转动副，两转动副均绕轴线B转动，因此，该复合铰链计算自由度时应按2个转动副计算。

图1－25　复合铰链

如果有m个构件以复合铰链相连接，则构成的转动副数目应为m－1个。在计算机构自由度时，应注意分析是否存在复合铰链。

［例1－7］计算图1－25（a）中机构的自由度。

解：该机构有5个活动构件，即n＝5；A、E、C、D处各有1个转动副，同时D处还有1个移动副；而B处为由2、3、4构件构成的复合铰链，此处有2个转动副，因此PL＝7。由式（1－2）得

FH＝3×5－2×7＝1

2．局部自由度

在有些机构中，某些构件所具有的自由度仅仅是该构件的局部运动，而不影响其他构件的运动，即称为局部自由度。在计算机构的自由度时，应将局部自由度除去不计。

如图1－26（a）所示的凸轮机构中，凸轮1为主动件，从动件2做上下方向的平动，其运动规律取决于其上点A的运动，而与滚子3的转动无关。因此，滚子3所具有的绕轴A的转动自由度是局部自由度，在计算机构的自由度时，应将其除去不计，即可假想把转动副A刚化，从而使滚子3和从动件2成为一个构件（如图1－26（b）所示）。计算该机构的自由度时，应取活动构件数n＝2，低副数PL＝2，高副数PH＝1，则机构的自由度为

图1－26　凸轮机构

图1－27所示为滚动轴承的结构示意图，为了减少摩擦，在轴承的内外圈之间加入了滚动体3，但是滚动体是否滚动对轴的运动毫无影响，滚动体的滚动属于局部自由度，计算机构自由度时可将内圈1和滚动体3看成一个整体。

图1－27　滚动轴承
1—内圈；2—外圈；3—滚动体

虽然局部自由度不影响从动件的运动规律，但是可以改善高副中运动副元素之间的接触状况，并可改变其摩擦的种类。所以在实际机构中常常会出现局部自由度。

3．虚约束

在机构中，常常会存在一些运动副，它们所引入的约束对机构运动起着重复约束的作用，这类不起独立约束作用的约束称为虚约束。在计算机构的自由度时，应将虚约束除去不计。

（1）两构件间形成多处具有相同作用的运动副

如图1－28（a）所示，轮轴2与机架1在A、B两处形成转动副，其实两个构件只能构成一个运动副，这里应按一个运动副计算自由度。如图1－28（b）所示，在液压缸的缸筒与活塞、缸盖与活塞杆两处构成移动副，实际上缸筒与缸盖、活塞与活塞杆是两两固连的，只有两个构件而并非四个构件，此两个构件也只能构成一个移动副。

图1－28　两构件间形成多处运动副的虚约束
（a）轮轴与机架；1—机架；2—轮轴；（b）液压缸；1—活塞；2—缸筒；3—缸盖；4—活塞杆

（2）两构件上连接点的运动轨迹重合

图1－29所示为火车机车车轮联动装置示意图，它形成一个平行四边形机构，其中构件EF存在与否并不影响平行四边形ABCD的运动，可以肯定地说，三构件AB、CD、EF中缺少任意一个，均对余下的机构运动不产生影响，实际上是因为此三构件动端点的运动轨迹均与构件BC上对应点的运动轨迹重合。应该指出，AB、CD、EF三构件是互相平行的，否则就不是虚约束，机构就会出现过约束而不能运动。

图1－29　火车机车车轮联动装置

（3）机构中具有对运动起相同作用的对称部分

图1－30所示为一对称齿轮减速装置，从运动角度考虑，只需一个齿轮2便可传递运动，为使输入输出轴免受径向力，即从力学的角度考虑，加入了齿轮2′和2″，形成对称结构。未引入对称结构时，机构由5个构件、4个转动副、2个高副组成，自由度为F＝3×（5－1）－2×4－2＝2。

图1－30　对称结构引入的虚约束

引入对称结构后，如果不将虚约束去除，则机构由7个构件、6个转动副、6个高副组成，自由度为F＝3×（7－1）－2×6－6＝0，这与实际不符，显然是错误的。

还有一些类型的虚约束需要通过复杂的数学证明才能判别，在此不再赘述。在实际机构中，虚约束虽然不影响机构的运动，但可以增加构件的刚性，改善其受力状况或保证机构顺利通过某些特殊位置等，因而在设计中被广泛使用。虚约束要求具有较高的制造和装配精度，如果加工误差较大，满足不了某些特殊的几何条件，虚约束就会变成实际约束，使机构失去运动的可能性。

［例1－8］计算图1－31所示大筛机构的自由度。

图1－31　大筛机构

解：图中凸轮副中的滚子9具有局部自由度。E和E′为7和8两构件组成的导路平行的移动副，其中之一为虚约束。构件2、3和4在C处构成复合铰链，故F＝3n－2PL－PH＝3× 7－2×9－1×1＝2，此机构应有两个主动件。

根据所学知识，完成以下任务。

1）绘制图1－7鹤式起重机主体机构的运动简图，计算该机构的自由度，并判断该机构的运动情况是否确定。

2）计算图1－32所示抽水机筒的机构自由度，并判断其运动情况是否确定。

图1－32　抽水机筒

*3）计算图1－33所示平面机构的自由度，并判断其运动情况是否确定。

图1－33　平面机构

1．什么是机构的自由度？计算自由度应注意哪些问题？

2．机构具有确定运动的条件是什么？若不满足这一条件，机构会出现什么情况？

3．计算图1－34所示平面机构的自由度（机构中如有复合铰链、局部自由度及虚约束，请予以指出），并判断机构运动是否确定。

图1－34　题3图