自伽利略首先研究自由落体和钟摆现象以来，数学家已创造出成千上万个公式，来描述自然界中的各种行为状态。这些公式构成了现代科学的基础，并被人们称之为自然法则。在数学的帮助下，人类得以打造出我们当今居住其间的复杂的科技世界。工程师依靠公式来确保桥梁不会坍塌，以及飞机平稳穿行云端。你或许认为从目前介绍的内容来看，对于未来的预测永远不是一件难事，但事情并非永远这么简单——正如法国数学家昂利·庞加莱所发现的那样。

1885年，瑞典和挪威的奥斯卡二世国王为一个问题的解答提供了2500克朗的奖金，这个问题便是太阳系究竟会像发条一样持续运作下去，还是存在某种可能性——地球将在未来的某个时刻脱离太阳轨道，飞入浩淼的太空深处。任何一个能够就此问题建立起坚实数学论证的人都会得到上述的那笔奖金。庞加莱认为自己能找到答案，于是便开始进行研究。

当数学家在分析复杂问题时，他们的一个经典做法就是化繁为简，以期将要解决的问题简单化。庞加莱也是这样，他并不是开始研究太阳系中的所有星系，而是首先设想了一个由两个天体组成的星系。牛顿已经证实它们的轨道会是稳定的：这两个天体会围绕彼此在各自的椭圆轨道中 运行，并永远重复同一种运行模式。

图　5-5

以此为起点，庞加莱开始探索在这一平衡状态中加入另外一颗星球后会发生什么变化。但是，一旦将系统中的天体数量增加为三颗（比如：地球、月球、太阳），难题马上就来了，要判定这样一个系统中的轨道是否稳定就变得如此复杂，以至于伟大的牛顿也在此处裹足不前了。难题就是此时的食谱中已有18种不同元素：每颗天体的三维坐标，以及它们各自在3个维度上的速度。牛顿本人便曾写道：“要同时考虑所有影响运动的因素，然后以能够进行简单运算的准确法则来定义这些运动，如果我的判断准确的话，这项任务超出了所有人类头脑的能力所及。”

但是庞加莱并未因此止步，他做出了重大推进，通过对轨道运行状况进行一系列的近似运算，简化了这一问题。他认为，在确定星球位置时，进行化整除零或忽略细小差别，并不会对最终结果造成太大影响。尽管他并未完全解答出奥斯卡国王的问题，但他的研究思路已足够成熟，使其赢得了上文提到的那笔奖金。但是，就在庞加莱准备发表论文时，一位编辑未能完全理解庞加莱的数学运算，并提出了一个疑问——对于星球位置的细小改动只会对它们的轨道状况产生细微影响吗？对此，庞加莱是否能给出合理解释呢？

就在庞加莱试图证明其假设的合理性时，他突然意识到自己犯了一个错误。他最初的想法是不对的，初始条件（3个天体的初始位置及速度）中的细微改变也会产生截然不同的轨道，也就是说，他的简化思路并不可行。他立刻联系这名编辑，试图阻止论文付印，因为背负国王赋予的荣誉而发表一篇错误的论文必然会引起一场轩然大波。但当时论文已经印了出来，不过，其中大部分还是进行了回收和集中销毁。

整个事件看似一场尴尬的乌龙。但是，正如数学界中经常出现的状况，当某件事情出错时，其背后的原因总是会引出一些有趣的发现。庞加莱继续写第二篇论文，这次他反其道而行之，解释为何细微修改也会造成一个看似稳定的系统突然间分崩离析。庞加莱从他的错误中发现的理论引出了上个世纪最重要的数学概念之一——混沌理论。

庞加莱发现，即使在牛顿的发条式宇宙中，简单公式也能产生无比复杂的结果。这并不是关于随机或概率的数学问题。我们在此面对的系统正是数学家们称之为决定论的系统：该系统由严格的数学公式掌控，而在任何一套固定的起始状态下，计算出的结果永远都是一样的。混沌系统仍然具有决定性，但初始状态中的一个非常细微的变化就能导致截然不同的结果。

做一个很好的小尺寸太阳系模型。将3块磁体放在地板上，一个黑色，一个灰色，一个白色。在磁体上方，设置一个有磁性的钟摆，这枚钟摆可以自由向任何方向摆动。钟摆会受到3块磁体牵引，并在其间摆动，直至达到稳定状态，并停留在一个稳定的位置上。钟摆的末端有一个漆盒，可滴出一连串的漆点。现在，我们让钟摆摆动起来，滴下来的漆滴将记录下钟摆的摆动轨迹。在此，我们实际上想做的是模拟一颗小行星划过太阳系的场景，这颗小行星受到3个星球的牵引，并会最终击中其中的一颗星球。

最不可思议的地方就在于，该实验几乎无法重复并得出相同的结果，即无法得到相同的油漆轨迹。不管你如何努力地把钟摆放在同一个位置，向同一个方向放手，你都会发现，实验所留下的油漆轨迹都截然不同，最终，每一次钟摆都会被不同的磁体吸过去。图5-6中显示了以3次近乎完全相同的方式起始的钟摆所留下的3条不同的轨迹，最终导致钟摆奔向不同磁体的怀抱。(www.daowen.com)

图 5-6　钟摆初始位置的细微变化会使其以完全不同的轨迹划向那3个磁体（分别以白色、灰色及黑色的小圆圈表示）

掌控磁体路径的公式是混沌的，而且即使初始状态中的一个细微变化也会导致结果的剧烈变化。这就是典型的混沌特质。

我们可以用电脑制作出一幅钟摆将被磁铁吸引的图像。磁铁被安置在中心位置，周围对应三片花瓶形状的彩色区域。如果在黑色区域上方启动钟摆，那么它最终将会投入黑色磁体的怀抱。同样，如果在灰色或白色区域上方启动钟摆，它最终会分别投入灰色或白色磁体的怀抱。在其中的某些区域，对于钟摆初始位置的细微变动并不会对结果产生太大影响。比如，在黑色磁体附近启动钟摆，钟摆大概总会划向黑色磁体。但是，我们也看到在一些其他区域中，色彩在短距离内便呈现出巨大的差异。

该例子所呈现出的也正是自然界的大致模样——分形。分形即混沌所对应的几何部分。当我们将图像中的部分区域放大，你就会看到其中的复杂性完全一样，正如我们2.9节中所讲的那样。正是这种复杂性使钟摆的运动状况如此难以预料，尽管用来表述该运动的公式十分简单。

如果该问题决定的不只是一个摆动的钟摆，而是整个太阳系的未来，又会如何呢？或许由一颗不守规矩的小行星带来的微扰也足以让整个太阳系分崩离析。这种情况似乎就在另一颗临近恒星仙女座星系中发生了，天文学家观测到该星系中现存行星的运行状况十分古怪，从而推测该星系曾因为一些对稳定轨道的干扰状况，而抛出了星系中一颗行星，并因此造成一场巨大的灾难。同样的状况也会发生在地球吗？

为了能安心工作，科学家们近期利用超级电脑来试图解答这个最终令庞加莱含恨的问题：地球是否存在脱离轨道飞向茫茫宇宙的危险呢？他们模拟真实的行星轨道，并让它们顺时针逆时针一圈圈地转动。幸运的是，计算结果表明，在99%的概率下，这些行星将会在现有轨道中老老实实地持续运行50亿年（此后，太阳将演变为一颗红巨星，并吞噬掉整个内太阳系）。但还是有1%的可能，会发生至少从数学角度来看更有趣的结果。

图 5-7　一幅电脑生成的用来描述钟摆在三个磁体上方运动状况的图像

结果证明，太阳系中的固态星球（水星、金星、地球及火星）的轨道并没有庞大的气态星球（木星、土星、天王星及海王星）那么稳定。无需担心这些巨大星球，其未来也会相当稳固。只有微小的水星才有可能成为造成太阳系瓦解的导火索。

通过计算机模拟，天文学家们发现水星和木星之间存在一种奇怪的共振，这种共振可能会导致水星轨道开始和相邻的金星轨道发生交错。这将可能最终引发金星和水星之间的强力碰撞，进而可能造成整个太阳系的分崩离析。但是，这种状况真的会发生吗？我们无从知晓。混沌的存在使我们很难对未来进行预测。