在应对数学问题时，横向思考是一种手到擒来的思考方式。换一种看问题的角度，手中的难题或许就迎刃而解，关键是要找到正确的角度。为说明这一点，我们来举一个游戏的例子，这个游戏初看上去十分诡异，但只要换个不一样的角度，整个情势便豁然开朗。如果你要玩这个游戏，请登录本书配套网站进行下载，并裁剪出游戏所需的小道具。

每位玩家手持一个空蛋糕架，其中可装入15块蛋糕。游戏的玩法就是在蛋糕架中装入不多不少的3组蛋糕，这些蛋糕来自9个分组，每一组包含的蛋糕数量依次为从1到9。每位玩家轮流进行挑选。

图 3-11　选择三组蛋糕，先于对手添满蛋糕架

游戏目的就是从1到9中选出3个相加得15的数字，并随时监督对方的步数，堵住对方的前路。比如，当对手选择3块和8块的两组蛋糕后，为阻止他组成数字15，你需要提前拿下4块的那组。而如果你预先锁定的那组已被抽走了，那么就要运用手中已经拿到的和桌面上剩余的组别来重新设想一种构成15的方式。但你必须要严格遵守三组蛋糕的规矩，也就是说，用9块和6块这两个组别来添满蛋糕架是不能算数的，同样，用1、2、4、8这四组来添满也不合规矩。

一旦游戏开始，你就很快发现，要时时追踪你和对手所有可能的路数将变得十分困难。但一旦你意识到该游戏事实上是另一种经典游戏井字游戏的变体，它一下子就变得非常简单了。两种游戏的区别仅在于我们在经典的3×3方格中所放入的并非0和X，而是数字，而这里所要做的便是先于对手取得方格中成排的数字。实际上，该游戏正是遵循着以下这个神奇的幻方。

表　3-3

最基本的幻方就是把1到9这几个数字放进3×3的方格中，使方格中每一行、每一列，以及对角线上的两串数字之和均等于15。这样一来，我们便找到了从1到9中选出3个数字而相加得15的所有可能了。通过将蛋糕游戏套进井字游戏的幻方中，我们就看出，只要谁先取得成排成列的3个数字，谁就赢得了游戏。

据传，世上最早的幻方（亦称魔方或纵横图）出现在公元前2000年的中国，这种被称为九宫图（亦称洛书）的形状被刻在龟壳上。当时，洛河泛滥成灾，禹皇帝举行了一系列献祭仪式以安抚河神。作为答复，河神送回这只乌龟，其背上的数字形状便是辅助帝王控制水患的法宝。自从这一数字序列被发现以后，中国的数学家们便试图构建类似的更大型的幻方。据悉，这些幻方中含有伟大而神奇的力量，因此广泛用于占卜。中国数学家在这一方面所取得的最了不起的成就则是创建出了一个9×9格的幻方。(www.daowen.com)

有证据显示，幻方由中国商人带到印度，这些商人不仅销售香料，同时也精于数学思想。而幻方中数字的循环交错则与印度教对重生的信仰高度契合。因此，这些方格在印度被应用到生活的方方面面，从香水配方，到助人分娩等等。此外，幻方在中世纪的伊斯兰文化中也广为流行。而伊斯兰文化中更加系统化的数学思想则带来更多地创建幻方的聪明方法。13世纪时，他们便发明了了不起的15×15格的幻方。

图 3-12　阿尔布雷特·丢勒的幻方

欧洲地区一个最早的幻方是4×4格的幻方，它出现在阿尔布雷特·丢勒的铜版画《忧郁症》中。他把1到16这些数字分别放置在16个方格中，使其中的每一排、每一列，以及对角线上的数字之和均等于34。此外，每个象限（即横竖切开后所分成的四个2×2的网格）以及中心处的2×2的网格中的数字之和也都等于34。丢勒甚至把他创作该铜版画的年份1514也设置在了幻方最下面一排的中间位置。

过去，不同尺寸大小的幻方常被人们认为其与太阳系中的行星有关系。经典的3×3格幻方关联着土星，而《忧郁症》中的4×4幻方则关联着木星，最大的9×9的幻方则被分派给了月球。有这么一种说法，丢勒之所以在铜版画中使用这个4×4幻方，是因为对丘比特（即木星）所隐含的欢快氛围有一种期待，指望这种欢愉能够中和画面中所弥漫的阴郁氛围。

另外一个著名幻方则出现在光怪陆离的神圣家族宗座圣殿的入口处，这座由安东尼·高迪设计的位于巴塞罗那的大教堂至今尚未完工。在这里的4×4幻方中，神奇数字是33，这是耶稣受难时的年纪。但这个幻方并没有丢勒的幻方那么完美，因为，数字14和数字10各出现了两次，而数字4和16则消失不见。

幻方是一个数学奇境，但是，其中有一个问题，数学家们至今未能揭晓。本质上来说，3×3格的幻方只有一个。（之所以说“本质上”，是因为如果仅仅靠旋转或左右颠倒一个幻方，并不能算是一个新的幻方。）1693年，法国人伯纳德·弗兰尼克·德·班西列出了共880种4×4的幻方；而在1973年，理查德·舒罗贝尔利用电脑程序计算出一共存在275 305 224种5×5的幻方。而对于6×6格或更大的幻方目前只有一些估算数据。数学家尚未找到一个能计算出这些准确数据的公式方法。