如果无法在一张表格中写下所有质数，那么，或许我们能找到一种模式，帮助生成新的质数。是否存在一些巧妙的办法，可以通过观察已知的质数来确定下一个质数的位置呢？

以下是我们通过埃拉托斯特尼筛法筛选出来的100以内的质数：

2、3、5、7、11、13、17、19、23、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

质数麻烦的地方就在于，要确定下一个质数的位置是件十分困难的事情，因为在质数序列中似乎不存在任何模式。实际上，它们看上去更像一系列的彩票号码，而非构建数学的基石。就像我们在等公交时，很可能一下子来好几辆，也有可能半天都不来一辆。质数也是这样，可能相邻的两个质数之间差距甚远，也可能在短距离内连续出现好几个质数。这便是十分典型的随机过程，在第3章中我们会就此做相关介绍。

除数字2和3以外，其他质数之间哪怕距离再近也是彼此相隔的，比如17和19，或者41和43。因为像这样的两个数字之间的数字必为偶数，因此就不可能是质数。这种质数之差为2的两个相邻质数被称为孪生质数。我对质数十分痴迷，因此，差一点就给我的双胞胎女儿分别起名叫41和43了。毕竟，克里斯·马丁和格温妮丝·帕特洛能管他们的孩子叫苹果（Apple），弗兰克·扎帕能把他的女儿分别叫月球单位（Moon Unit）和薄松饼鸽子女神（Diva Thin Muffin Pigeen），我为什么就不能给她们起名叫41和43呢？只可惜，太太对此事不那么热心，最终，这两个数字只成为我给孩子们起的“秘密”中名。

尽管随着数字越来越大，质数出现的几率也越来越小，但新的孪生质数还是经常出现在我们的视野之中，这一点还是很特别的。例如，质数1129之后的21个数字中完全没有其他质数，21个数字之后却突然出来1151和1153这两个孪生质数。而质数102 701之后连续经过了59个非质数，又一下子遇到102 761和102 763这一对孪生质数。2009年初发现的一对最大的孪生质数的位数达到了58 711位。鉴于人类可见的宇宙中所拥有的原子数量只达到80位的数量级，我们大致可以了解到上述质数是多么不可思议地大。

那么，是否还存在更大的孪生质数呢？多亏欧几里得的证明，我们知道还是会无休止地寻找出更多的新质数，但是孪生质数是否也无穷无尽呢？迄今为止，尚未有人就此提出一个像欧几里得一样巧妙的论证。(www.daowen.com)

在某个阶段，孪生子似乎是解开质数谜团的关键所在。在《错把太太当帽子的人》一书中，奥利弗·萨克斯描述了一对孪生自闭学者症患者的真实故事，他们使用质数作为一种秘密语言。双胞胎兄弟坐在萨克斯诊所的椅子上，互相说着巨大的数字。一开始，萨克斯完全被他们之间的对话弄糊涂了，后来有一天晚上，他终于破解了他们之间的密码谜团。在努力牢记了一些质数后，萨克斯决定验证一下自己的推测。第二天，当双胞胎互相交换6位数字时，他也加入其中。萨克斯趁两人的质数行话出现间隙的时候，脱口而出一个7位数的质数，两位双胞胎吃了一惊。他们坐着思索了一会儿，因为7位数的质数已经超出了他们迄今为止彼此所说的质数极限。不一会儿，两人不约而同地笑了，仿佛认识了一位新朋友。

在萨克斯处治疗期间，双胞胎兄弟一直将质数位数增加到了9位。当然，假如两人只是简单地相互诉说奇数或者平方数什么的，整件事情也就不足为奇了。但这里的惊人之处在于，质数的排列完全是随机的，没有任何规律可言。对该现象的一个解释涉及两兄弟拥有的另外一项能力。他们二人时常会登上电视屏幕，向观众展示他们的惊人能力，诸如说出1901年10月23是星期三之类。算出一个指定的日子是星期几，这里面涉及一种叫做模算术或时钟算术的方法。或许这两位双胞胎也发现时钟算术也是确定质数的关键所在。

选择一个数字，比如说17，然后计算出2¹⁷，之后用此数除以17得到的余数为2，这便可以证明17是一个质数。这种检验质数的方法常被误认为是中国人发现的，实际上，它是由17世纪的法国数学家皮埃尔·德·费马发现的。他证明出，如果余数不是2，便可确定17不是质数。一般来讲，如果你想检验数字p 是否为质数，那么就计算出2^p，然后再用该数字除以p 。如果余数不是2，那么p 就不是质数。于是，有些人就猜测，鉴于那对双胞胎能够计算出星期几的才能，而对于星期几的计算也涉及一种类似的除以7求余数的技巧，因此，他们在确定质数时，大概便使用了上述方法。

一开始，数学家认为，如果2^p 除以p 后确实得到余数2，那么p 就是质数。但是，实际上这一检验方法并不能得到如此确定的结论。341=31×11，因此341不是质数，但2³⁴¹除以341后却能得出余数2。这个例子直到1819年才被人们发现，或许那对双胞胎早已掌握了更成熟的能够剔除掉341的检验方法。费马指出，该方法不仅限于2的幂，而是可以扩展到n 的幂，对于任何比p 小的数字n，使得n^p 除以质数p 后得出余数n 。如果套进某个n 值后，上述结果不成立，那么便说明p 只是个冒名质数而已。

例如，3³⁴¹除以341后得到的余数不是3，而是168。但双胞胎兄弟不可能验证完所有小于候选质数的数字：对他们来说，这需要太多的测算。不过，伟大的匈牙利质数奇才保罗·埃尔德什评估出（尽管他没有给出十分严谨的证明），要验证一个小于10¹⁵⁰的数字是否为质数，只要通过一次费马的检验程序，就能知道该数字为非质数的几率小于10⁴³分之一。因此，对这对双胞胎兄弟来说，或许只进行一次验证便足以让他们享受到发现质数的喜悦。